Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

ваться известными волновыми функциями в приближении Хартри — Фока [11]. Тогда радиальная плотность заряда Р(г) = —4пг2п(г) вычисляется через известные радиальные функции электронов /?(п, /, г):

P(r) = V 2 (2/ + 1)Я 2(п, /, г).

П , I

Зная Р(г), можно, согласно уравнению Пуассона, вычислить эффективный потенциал иона. Это уравнение удобно записать так, чтобы искомой функцией являлся не потенциал Ue, а

b{r) = y(r)r = lZ + rUe( r ) ] - ( Z - N ) ,

т. е.

d2X (r)/dr2 = Р (r)/r.

Граничные условия имеют вид

Я (г) |г= о = N; П т Я (г) = О,

Г-*-СО

причем в случае статистического распределения плотности второе из них можно записать как Я(г) |>==г0 = 0, где го — граница

иона.

С целью проверки точности статистического распределения подобное вычисление было выполнено и для Са+, для которого

Рис. 54. Радиальное распределение плотности электронов в атоме кальция:

1 — статистическая модель; 2 — сам осогла­ сованное поле.

известны волновые функции в приближении X—Ф. На рис. 54 приведены для сравнения радиальные плотности Р(г), вычис­ ленные по статистической теории и теории X—Ф для иона Са+, а на рис. 55 представлено статистическое распределение Р(г) для U+. В итоге вычислений были получены следующие ре­ зультаты:

410

а) в первом варианте расчета, когда для Са+ использовано

корреляцию. Хорошее совпадение расчета с экспериментом для Са+ позволяет предположить надежность метода и при вычис­ лении Duf. Экспериментальные данные по энергии диссоциации молекулы UF, к сожалению, отсутствуют.

§ 41. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИЛЬНО СЖАТОЙ СИСТЕМЫ АТОМОВ

Под сильно сжатым понимают вещество под действием столь высоких внешних давлений Р, для которых выполняется условие

^ > е 0.

где ео — величина порядка плотности энергии в несжатом ве­ ществе (в твердом теле). Эту величину можно истолковать также как внутреннее давление электронного газа в вещест­ ве, обусловленное кинетической энергией электронов. В несжа­ том веществе это давление компенсируется кулоновскими сила­

/N

где р — оператор импульса; /У — гамильтониан электрона в самосогласованном поле. Если не учитывать корреляции элек­

411

тронов, то это поле описывается приближением X—Ф. Хими­ ческий потенциал р определяется полной энергией системы в приближении самосогласованного поля

Используя известные правила вычисления функции от сум­ мы некоммутпрующих аргументов, можно разложить выраже­

этом разложении бь а остальные квантовые поправки первого порядка бг. Введем безразмерную потенциальную функцию атома и обменную поправку к пей:

Ф (О *= [eU (г) г и1Р;

6(-ср (г) = [ебtU (г) ;• 6(,U] Р = -± - (2h03->)V2[/1/г (ф) б1г f и, (г)],

(41.4)

где бн — символ Кронекера, выделяющий квантовую поправку. Оказывается, что поправки к потенциалу удовлетворяют сле­ дующему уравнению и краевым условиям [4]:

412

Потребуем, чтобы потенциал на границе атома был равен ну­ лю в любом приближении. Тогда из выражении (41.4) следует, что поправки к химическому потенциалу р и потенциалу само­ согласованного поля U (г) имеют вид

(2а0Р)-‘/2 U*/, [ф^оМбц + и, (го)!;

ОЯ

еб, U (г) = ~ (2a0P)-V2[l\h [ф (г)] 8и -г щ (г)} — б,.р,

где Го — радиус атома.

При вычислении поправки к энергии получается расходя­ щийся интеграл по объему. Это связано с тем, что квантовую поправку па неоднородность-системы нельзя вычислять с по­ мощью квазиклассической электронной плотности. Расходи­ мость обусловлена областью вблизи ядра, где неоднородность проявляется наиболее сильно. Однако в этой области влия­ ние внешних условий (температуры и давления) не прояв­ ляется. Поэтому при вычислении разности энергий атома при различных внешних условиях расходящиеся члены сокра

однородной, можно получить явное выражение для термоди­

Относительно простые выражения можно получить, рас­ сматривая систему «холодных» сжатых атомов при Т= 0. Про­ делаем в полученных выше выражениях предельный переход

413

при Т->0, используя при этом асимптотику функций Дирака

I k { l ) ^ l k+ ' { k + I ) - 1; ф , ( 5 ) - > ( 2 / 3 ) Е 2 ; ф2( б ) + 3 £ 2

при >-оо. Ввиду того что асимптотики функций ф отличаются лишь численным множителем, обменная и квантовая поправки при абсолютном нуле также отличаются лишь численным мно­ жителем 9/2.

Для полного описания рассматриваемого приближения не­ обходимо привлечь уравнение Т—Ф и выражение для поправок к давлению системы. Удобно сделать следующую замену пере­ менных:

х = г/г0- Ф (х)/х = ср (г)/ф (г0); ф (х)/х = ut (г)/щ (г0)

ипроделать указанный выше предельный переход. Уравнения

иусловия для безразмерного потенциала принимают следую­ щий вид [4]:

где

а = r\\i'4j[e (*а0)3/г]; а ' =• 11а (рфу/Дщ (г0) + и2(г0)];

к = (9л2/128),/з.

Преобразуя выражения (41.6) с помощью равенств, анало­ гичных теореме вириала в модели Т—Ф, получаем следующие выражения для термодинамических величин и поправок к ним:

4 1 4