Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

Подставляя сюда выражение для U(га)—U0> получаем

dE/dr0 = — 4лг\ • (2/3)

Тогда из условия dE/dr0 = 0 следует

п0 = О,

т. е. плотность электронов на границе атома в модели Т—Ф об­ ращается в нуль.

Поскольку dE = PdV, где Р — давление электронного газа, условие dE/dr0= 0 приводит к выводу, что и давление электрон­ ного газа на границе атома равно нулю. Отметим, что для сильно сжатой системы это не так, поскольку п(г0) ф 0. Так как п0=0, множитель Лагранжа U0= U(г0) , а

Uо(О) =•- — Ne/r0.

Поскольку Uk(r) =Ze/r,

U0 = {Z — N) e/r0.

Следовательно, для нейтрального атома U0= 0.

Уравнение второго порядка (40.6) имеет однозначное реше­ ние, если добавить к нему два граничных условия. Учитывая, что U — полный потенциал, можно написать

Jim (rU) = Ze,

л-О

У с л о в и я н е п р е р ы в н о с т и п о т е н ц и а л а и п о л я п р и г = г 0 и м е ю т в и д

Преобразуем уравнение Т—Ф к безразмерным переменным. Пусть

401

Полагая x0 = r0/\.1, вместо выражений (40.9) и (40.10) получаем

остается справедливым условие (40.11), но не условие (40.12),

к бесконечности как г~‘1г.

Отметим, что уравнение (40.11) является универсальным в том смысле, что для любых Z, т. е. для любых атомов, это

V

V

0,8

0,6

0,4

0,2

о

Рис. 53. Безразмерный потенциал q>(x) в приближении Томаса — Ферми:

числа у кривых — значения производной ф '(0).

уравнение нужно решить один раз, переходя от атома к атому лишь с помощью изменения масштаба. На рис. 53 представле­ но решение уравнения Т—Ф <р(х). Изолированному атому со­ ответствует кривая, простирающаяся до бесконечности, по­ скольку для нейтрального атома х0=оо.

Уравнение Т—Ф не учитывает квантовомеханических об­ менных эффектов. Если в выражение для полной энергии си­

402

стемы включить еще энергию Ea^ n 4's , характеризующую об­ менное взаимодействие, то получим [2]:

Проделав вариационную процедуру для полной энергии Е (аналогичную описанной выше), получим уравнение вида

A(U — Uq+ т 2) = 4 л с г 0е [(U — UQ+ т 2) 1/* + т 0 ] 3 ,

где

В случае исчезающе малой обменной поправки полученное уравнение Т—Ф—Д (при х«= 0) переходит в уравнение Т—Ф. В отличие от простейшей модели Т—Ф модель Т—Ф—Д при­ водит к конечному размеру нейтрального атома Го и к конеч­ ному значению граничной плотности электронов:

«о = (хв/2»«й)®.

В безразмерном виде уравнение Т—Ф—Д имеет вид

В качестве граничных условий можно написать выражения:

универсальным и требует отдельного решения для каждого Z . Численные решения для большого количества Z получены и имеются в работе [2].

Приближение Т—Ф—Д существенно улучшает описание по­ ведения плотности электронов вблизи границы. Собственная энергия электронов в этой модели компенсируется обменной энергией. Модель Т—Ф привлекательна своей простотой. Она, однако, не учитывает квантовых эффектов. В связи с этим да­ же при вычислении характеристик тяжелых атомов (для кото­ рых квазиклассическое рассмотрение является наиболее точ­ ным) можно получить лишь качественный результат. Теория Т—ф не может объяснить многих явлений. В частности, она не объясняет факта существования отрицательных ионов. Тео­ рия Т—Ф—Д вносит заметное улучшение статистического опи­ сания системы многих частиц. Однако и эта модель не учиты­ вает корреляции электронов в атоме и рассматривает элек­ тронный газ как вырожденную систему. Между тем эту мо-

403

.дель можно обобщить, учитывая квантовомеханические эффек­ ты, отличный от нуля орбитальный момент атома и т. д. [2]. Рассмотрение системы при конечных температурах требует также температурного обобщения статистической модели.

Как будет показано в § 41, статистическая теория является мощным инструментом исследования термодинамических свойств вещества при высоких давлениях. Статистическое опи­ сание систем небольшой плотности менее надежно, однако и в этом случае можно получить разумные оценки важных харак­ теристик системы. Продемонстрируем это утверждение двумя примерами.

Статистическая теория дает наилучшие результаты при вы­ числении интегральных характеристик атома, таких, например, как полная энергия ионизации атома, т. е. энергия отрыва всех электронов от ядра атома. Однако оказывается, что даже

сравнение полной энергии ионизации различных атомов, вычис­ ленной с помощью модели Т—Ф, с экспериментальными зна­ чениями [2]. Оказывается, что полная энергия ионизации удов­ летворительно описывается даже простейшей моделью Т—Ф и особенно для тяжелых элементов. Однако при вычислении /„ для «<CZ получаем в приближении Т—Ф чрезвычайно грубые

-404

результаты. Например, для атома урана получается Л = 1,78 эв, в то время как экспериментальное значение для первого по­ тенциала ионизации /1 —6 эв. Поэтому учет поправок при вы­ числении 1п в рамках статистической теории является суще­ ственным.

Представим выражение для «-кратного потенциала иониза­

корреляции электронов по интерполяцонной формуле Гомба-

Задача вычисления 1п сводится, таким образом, к опреде­ лению г0 и распределения плотности атомных электронов или соответствующих атомных и ионных электрических потенциа­ лов. Для этого необходимо решить численно уравнение Т—Ф—Д с поправкой на корреляцию электронов. Эта поправ­ ка в модели Гомбаша не меняет вида уравнения Т—Ф—Д, так что для безразмерного атомного (ионного) потенциала имеем уравнение

Таким образом, три граничных условия для уравнения вто­ рого порядка определяют и границу х0 (в зависимости от сте­ пени ионизации q) и потенциал ф.

Уравнение (40.17) поддается лишь численному интегриро­

ориентировочного значения х0 вычислялись начальные данные для кривой ф(х) в точке х0, т. е. ф(х0) и ф'(хо), после чего проводилось интегрирование с переменным шагом, обеспечи­ вающим заданную точность вычисления хо- Расчет повторялся для каждого значения q.

405