Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 150

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

I

f ,

2 d

f

1

\

!

 

 

 

---------dne tie

---------

V

— — ----

)

 

 

 

2

J

дпе

П (0)

2

k=0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф(ч) =

 

4nZ2e2

u a

|2 П (q ) Va.

(44.12)

 

 

 

 

 

 

q*V0

 

e (q)

 

Выражение (44.11) представляет собой уравнение состояния металла при Т 0, в котором, однако, объем элементарной ячейки пока не определен. В нормальных условиях равновесию кристалла соответствует Р 0. Поскольку давление (44.11) пред­ ставляет собой явную функцию от V0, то условие равновесия приводит к уравнению для определения У0:

Р = ф(Ко) = 0 .

(44.13)

Таким образом, если известен псевдопотенциал, то известно и выражение для объема элементарной ячейки Vo- В металлах типа К, Na 0 к достаточно мало и можно пренебречь членом № в формуле (44.2). Тогда выражение для давления принимает простой вид:

р _ р ( ° )

1 -

(44.14)

а

 

3

 

Последний член в правой части определяется энергией Еи и выражение для Pi может быть найдено, скажем, из выражения для энергии кубической решетки ионного кристалла:

где а связано с постоянной Маделунга [а= 1,792 (4л/3) 1/з для

объемноцентрированпых решеток].

е. положить Ь = 0,

Если перейти к пределу точечных ионов, т.

то нетрудно видеть, что Р < 0 и сжимаемость

и< 0 в широком

интервале значений плотности, т. е. вблизи истинного равновес­ ного состояния металл оказывается неустойчивым. Таким обра­ зом, устойчивость металла обусловлена отклонением амплитуды рассеяния электронов от кулоновской амплитуды при конеч­ ном Ь. В частности, поэтому ясно, почему водород (у которого b очень мало) не может быть устойчивым в металлической фазе

при нормальных плотностях.

При значительном увеличении плотности атомов увеличи­ вается энергия Ферми &f, так что параметр а уменьшается и вклад Я(0) возрастает. Это может привести к стабилизации ме­ таллической фазы даже в точечной модели. Случай относительно высоких плотностей (г, — 1,6) был исследован А. А. Абрикосо­ вым [1]. Следует помнить, однако, что так называемая модель «желе», когда учитывается только член Р@\ очень неточна, по­ скольку вклад Р(1>и Р{ оказывается существенным.

15 Зак. 635

449



Метод псевдопотенциала позволяет свести сильное элек- трон-ионное взаимодействие в металле к эффективному сла­ бому псевдопотенциалу и тем самым позволяет ввести малый параметр а, по которому и велось разложение энергии, выпол­ ненное выше. Тем самым этот метод дает обоснование модели квазисвободных электронов и определяет успех одночастичного приближения. Однако этот успех является, как мы это видели в девятой и десятой главах, довольно относительным, ибо в рамках одночастичного приближения невозможно корректное описание электронной системы. Поэтому опять возникает необ­ ходимость в построении последовательной многоэлектронной теории металлов, позволяющей находить в рамках одних и тех же представлений как электронный, так и фононный спектры, а также представляющие интерес физические величины, зави­ сящие от этих спектров. Облегчающими в таком рассмотрении являются два обстоятельства.

1. При рассмотрении непереходных металлов существенно то, что размер иона (после отделения всех валентных электро­ нов) достаточно мал, так что ионы занимают 5—10% атомного объема. Взаимодействие между ионами исчерпывается прямым кулоновским взаимодействием, а также косвенным — через элек­ троны проводимости.

2. Амплитуда рассеяния электрона на ионе в металле при переданных импульсах порядка вектора обратной решетки к является малой. При записи псевдопотенциала это и приводит к возникновению малого параметра а (44.8).

Поэтому появляется возможность, как показано выше, раз­ лагать выражение для энергии по параметру а и не прибегать к теории возмущений по электрон-электронному взаимодействию (что обычно делается при рассмотрении поправок к одноэлек­ тронному приближению). Различные степени-псевдопотенцнала полной энергии описывают эффективно вклад двух-, трех-, четырехионного и т. д. взаимодействий через электроны проводи­ мости. Оказывается, что непарность взаимодействия особенно существенна в динамической задаче колебания кристалла. Так, если для определения статической энергии с точностью до а2 достаточно учесть лишь парное взаимодействие, то для опре­ деления продольной скорости звука с той же точностью необ­ ходимо учесть трех- и четырехчастичное взаимодействие. По­ этому в динамике кристаллов учет лишь двухчастичного взаимодействия является некорректным. Можно показать, что, используя ряд точных соотношений для заряженной фермижидкости, можно получить замкнутые выражения для модулей упругости через поляризуемость электронного газа e(q i и псевдопотенциал.

Изложение, приведенное выше, предполагает локальность псевдопотенциала. По-видимому, можно более строго ввести в

задачу величину Ь, учитывающую нелокальное электрон­

450


ионное взаимодействие. В этом случае гамильтониан электрон­ ной подсистемы в поле фиксированных ионов удобно записать в представлении вторичного квантования:

Н = 'V

а+ а. + — V

а+ , ак, ак +

 

л

2т к к 2 ZU

<?2 к~Ч к +ч к

 

к

к ,к' ,q

 

 

+

5 ] « к . к ^ я + 5 ]

uk.q+A « k + q ’

(44.15)

 

кk,q+0

где

Uk,kfq

^ к-к+Ч

Переход к локальному взаимодействию выглядит так:

^k.krq

Последний член в выражении (44.15) определяется вели­ чиной Е&> (точнее, разложением энергии по степеням псевдо­ потенциала, начиная с EW). Значение целиком определяется третьим членом выражения (44.15) и равно

£ (1> = Z ^k,k«k,

(44.16)

где пк— числа заполнения, а в Иk,к

не содержится кулоновской

части взаимодействия. В случае

локального

взаимодействия

Uк,к =b/Vo, что с учетом условия

2«k =NZ

переходит в вы-

ражение (44.6). Сохранив

к

£<'>, получим

эту форму записи для

в общем случае

 

 

6 =

" й '2к г/к-к7,ь ’

(44Л7)

что дает возможность найти b при заданном псевдопотенциале. Существенно, что при этом в формулу (44.17) можно подстав­ лять выражения для модельных потенциалов (например, потен­ циал Хайне), построенных на основе экспериментальных дан­ ных, в частности спектроскопических.

Многие интересующие нас характеристики металлов можно выразить через псевдопотенциал и диэлектрическую функцию электронной системы, воспользовавшись некоторыми точными соотношениями для ферми-жидкости системы заряженных ча­ стиц. Это можно сделать, используя диаграммную технику [3].

Отметим, что строгое выражение для e(q) получить не удается. Это, конечно, нельзя ставить в вину авторам ра­ боты [3], поскольку вычисление корреляционной энергии элек­ тронного газа при rs~ l все еще является непреодолимой зада­ чей (см. главу десятую). Для оценки e(q) можно воспользо­

15* 45!


ваться известными интерполяционными формулами для p.(q),

например интерполяцией Вигнера. Выражения

для e(q) при

rs^$>1 и r.s<§; 1 известны. Отметим также, что

точное знание

корреляционной энергии отнюдь не является необходимым при вычислении любых характеристик металлов. Так, в полную энергию кристалла корреляция электронов вносит пренебре­ жимо малый вклад.

Рассмотрим простейшую модель, позволяющую приближенно учесть корреляцию электронов в металле. Пусть многоэлектрон-

иая система в состоянии |к >

характеризуется набором кванто-

вых чисел к. Пусть далее ф(х),

ф+(х) — полевые операторы в

представлении Гейзенберга,

так

/—.

что ф + (х )|т > описывает со­

стояние, в котором электрон находится в точке х, а состояние

системы характеризуется вектором состояния | т > .

Тогда мат-

ричный элемент < т |ф ( к ) |к > (так называемая

одноэлек­

тронная амплитуда) описывает распространение электрона в

рассматриваемой системе, если х= (г, t) = (г, ст,

t), где а харак­

теризует спиновое состояние. Величина ф ( х )

|т > описывает

возникновение дырки в точке х, когда среда находится в состоя-

пни | т > . При этом матричный элемент < т |ф+(х) | к > (так называемая амплитуда дырки) описывает движение дырки. Ту и другую одночастичные амплитуды обозначим фк (я), которые

удовлетворяют уравнению Швингера

[26]

 

(\h

- Я0) Фк (х) - j dx'M

(х', х) срк (х') = 0,

(44.18)

где Н0— гамильтониан типа Хартри с добавкой собственной энергии:

H0 —h (х) + J dx'v (х х') <ф+ (л;') ф (х') > = Н(х) +

+ J dx'v (х' х) 2 П[Ц>, (х’) Ф, (х');

(44.19)

h (x )= h (r ) — одноэлектроцный гамильтониан;

v(x' х ) — по­

тенциальная энергия электрон-электронного взаимодействия; символ < ...> означает усреднение по основному состоянию многоэлектронной системы; щ — числа заполнения, связанные с

ф|(х); М(х' х) — массовый оператор собственной энергии.

Как следует из определения, фк(х) гармонически осциллируют с частотой ekft_1. Если предположить, что М однородно по

времени, т. е.

М(х, x')=M (r\ г, t' — t), то уравнение

(44.18)

можно представить в виде

 

(ек -

Н0) Фк (г) - j dr'M (г', г; ек) Фк (г') = 0,

(44.20)

452