Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

где ft <r — дебройлевская длина волны электронов; Г(х) — гаммафункция; NWn— значение в нуле парной функции корреляции для потенциала Н(г):

Следовательно, подавляющее число электронов локализовано, если

JVJdr{exp[-t/(r)p] + f / ( r ) P - 1} » 1.

В случае p£/(r)<Cl это соответствует неравенству р2АП170^>1. Сильно связанный электрон находится в потенциальной яме, вид которой определяется выражением

Энергия связи электрона «(0) может быть достаточно боль­ шой, чтобы образовавшийся кластер (электрон + флуктуация атомов) можно было бы рассматривать как долгоживущую тяжелую частицу. Критерий стабильности кластера имеет вид

где \'* = N j' dr(exp[—pt/(r)]—1) — среднее число атомов в кла­ стере. Концентрация ионов связана с их химическим потенциа­

Здесь K= (22,-/So) ft~3 — константа ионизационного равновесия;

E;, a — статистические суммы иона и атома по внутренним сте­ пеням свободы; I — потенциал ионизации атома.

Использование описанных выше представлений позволило авторам работы [18] вычислить электропроводность паров ме­ таллов при высоких давлениях и получить лучшее согласие с экспериментом [13] по сравнению с моделью Веденова [5] (см. главу двенадцатую). При плотностях паров ртути в закритической области, по-видимому, осуществляется металлизация кла­ стеров, предшествующая металлизации системы в целом. Не исключено, что проводимость плазмы в этой области опреде­ ляется поведением двухфазной системы (жидкий металл + не­ идеальный газ).

444

В заключение обсуждения моделей плотной плазмы сделаем несколько замечаний о результатах машинных экспериментов,, подробно рассмотренных в главе о численных методах в термо­ динамике плазмы. Численно исследовались две модели: система электронов па компенсирующем фоне заряда [19] и классиче­ ская система заряженных шариков [7, 16, 20]. В работе [19] обнаружена кристаллизация системы при т]|;л — 102. Однако' использование известного полуэмпирического критерия для плавления кристалла, так называемого правила Линдемапа (см. главу одиннадцатую), по-видимому, позволяет утверждать, чтокристаллизация системы наступает при больших значениях па­

При суммировании первых трех членов с т = 5 получим

3 5

= 8,8 + 0,2.

2k+ 21— 1

/=1 к=й

445

Неопределенность связана здесь с членом 1 = 3. В действитель­ ности погрешность меньше указанной. Следовательно,

и-2 = 3,125 + 8,8 ± 0,2 = 11,9 + 0,2.

В результате прямого численного интегрирования по спектру -частот Карр получил w_2 — 13,2+1,0.

Поскольку чисто теоретическое вычисление бт невозможно, приходится прибегать к правилу Линдемана для плавления, которое, однако, хорошо подтверждается экспериментом при Т/йлЗ>1. По-видимому, кулоновский кристалл больше всего по­ хож па объемноцентрироваиный кубический кристалл (типа кристалла щелочных металлов). Поэтому (6т )2 можно вычис­ лить по формуле (43.47), используя табулированные значения необходимых параметров для этих металлов [3]. Такое вычис­ ление приводит к результату r)m.= 170±10.

В модели твердых заряженных сфер обнаружен фазовый переход первого рода типа газ — жидкость. Насколько это со­ ответствует положению в реальной сильно неидеалыюй плазме, пока неясно, поскольку в работах [7, 16, 20] исследовалась классическая система в условиях, когда квантовые эффекты могут сыграть заметную роль.

Изложенные качественные подходы, конечно, не претендуют на строгое описание свойств кулоновской системы с сильным взаимодействием, однако они содержат интересные прогнозы, которые должны стимулировать дальнейшие экспериментальные исследования.

§ 44. К ТЕОРИИ ПЛАЗМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Этой проблеме уделено достаточное место в предыдущих главах. Здесь рассмотрим некоторые аспекты теории, касаю­ щиеся проблемы сжимаемости плазмы в металлах, устойчивости металлических систем, корреляции электронов в твердых телах и некоторые другие вопросы, связанные с описанием поведения плазмы в твердом теле.

Как упоминалось ранее, плазма металлов является чрезвы­ чайно неудобным для теоретика объектом исследования ввиду отсутствия в такой системе малого параметра. Реальные состоя­ ния вещества относятся к значениям параметра l,6 ^ r s^5,5. Исследуем вопрос об устойчивости простых металлов (типа Na, К), а также получим уравнение состояния, описывающее термодинамические свойства (в частности, сжимаемость) этих металлов. Рассмотрение указанных систем, конечно, не может быть точным вследствие отсутствия малого параметра, однако на этом пути удается ввести ряд разумных упрощающих пред­ положений, адекватных эксперименту *.

* Дальнейшее изложено по работам Ю. Кагана и сотрудников [3, 4].

446

поле фиксированных ионов. Представим далее энергию Ее в виде ряда

*Л, = £Л,-^-V eXp(iqRm);

т

А — символ Кропекера, характеризующий закон сохранения им­ пульса; Uq — фурье-компонента эффективного псевдопотенциаладля отдельного иона, который предполагается локальным; N — число атомов в объеме кристалла; четырехполюсник Пи), зави­ сящий только от электрон-электронного взаимодействия, можно рассматривать симметризованным по всем аргументам. Если взаимодействие электрон — ион сферически симметрично, то- Г('0(Ч),)=Г<">(—q,t). в случае полного равновесия ионной под­ системы все q; при п ^ 2 равны векторам обратной решетки к,-. Смысл разложения (44.2) станет ясен несколько ниже (в част­ ности, £<°) — энергия взаимодействия электронного газа в ме­

талле).

Пренебрегая колебаниями ионов в решетке (Г=0), имеем

где k — вектор обратной решетки; V0— объем элементарнойячейки; N — число ионов; R,, и R,,— координаты ионов. Учет электронейтральности ионной системы приводит к тому, что от псевдопотенциала Uq при q= 0 остается лишь пекулоновская часть взаимодействия

447

Здесь b — величина порядка амплитуды рассеяния электрона на ионе. Поэтому можно написать

где П(ч) — обычное, уже знакомое выражение для электронной петли.

Теперь уже ясно, что разложение (44.2) выполнено по пара­ метру

а = Uk/eFt

где Uк — фурье-компонента псевдопотепциала в пространстве векторов обратной решетки; eF— энергия ферми-электронов.

Запишем теперь уравнение состояния рассматриваемой си­ стемы, пользуясь известной связью между сжимаемостью элек­ тронного газа и выражением для петли при q-»-0:

где пс— плотность электронов, Отметим, что в приближении хаотических фаз это соотношение нарушается. Давление пред­ ставим в виде

•Запишем теперь выражение для полного давления в системе, удерживая члены порядка а2 включительно [см. формулу

448