Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

где ей— средняя одночастичная энергия, соответствующая срк (г);

/ S

М — фурье-компонеита массового оператора. Отметим, что Ек учитывает обменное взаимодействие и корреляцию электронов. Уравнение (44.20) — точное одночастичное уравнение, которое

не поддается аналитическому решению, поскольку оператор М нелокальный, и, вообще говоря, не эрмитов. Следовательно, уравнение (44.20) следует решать совместно с сопряженным ему уравнением.

Попробуем решить уравнение (44.20), что, конечно, возможно только при некоторых упрощающих ^допущениях. Если предпо­ ложить, что взаимодействие электронов мгновенное, т. е. пре­

жает потенциальный характер взаимодействия. При этом

фурье-компопента М не зависит от е к и можно перейти к эрми­ тову случаю:

тор М? Хорошо известное приближение состоит в замене его обменным потенциалом (Киттель):

Фока, которые не учитывают корреляционной энергии электро­ нов, т. е. игнорируют корреляцию электронов с антипараллельными спинами. Таким образом/,ч основная задача состоит в

модельной записи оператора М, учитывающей корреляцию электронов.

Проще всего сделать это для решетки с одним электроном на атом. Тогда формально можно рассмотреть кристалл как две эквивалентных системы плоскостей, или две параллельных под­ решетки (А и В). Такое представление удобно для описания поведения электронов с антииараллельными спинами в основном состоянии многоэлектронной системы, т. е. допускает учет (хотя

453

выражению для М, которое соответствует локальному взаимо­ действию:

Гамильтониан системы в приближении Хартри — Фока, кото­ рый описывает локальное взаимодействие электронов, комму­ тирует с группой трансляционных операторов первоначальной решетки, причем U к, t периодично в Л-, а V к, | — в В-подре- шетке. Все указанные выше приближения сводят точную задачу о корреляции электронов к приближенной задаче с модельным гамильтонианом:

Этот оператор коммутирует с операторами трансляций в под­ решетках. Выберем решетку, составленную из системы парал­ лельных плоскостей, которые альтернативно принадлежат к подпространствам Л и В и связаны элементарными трансля­ циями ai и а2. Элементарная трансляция а^ оригинальной

решетки, связывающая два атома в соседних плоскостях, отно­ сится либо к А, либо к В, и может быть выражена через элементарную трансляцию подрешетки подстановкой а3 = 2аз,

в то время как ai и а2 — трансляции и для подрешетки, и для оригинальной (первоначальной) решетки. Соответствующие пре-' образования в k-пространстве также одинаковы в обоих случаях для ki и к2, но для к3 следует писать: к3= (1/2)к'. Это означает,

что объем элементарной ячейки в k-пространстве для подрешетки составляет половину объема ячейки оригинальной ре­

шетки. В случае £/к,о- > 0 # “°рр->- # х-ф.

Таким образом, элементарная ячейка оригинальной решетки в k-пространстве «расщеплена» теперь на две элементарные ячейки подрешеток. Геометрическая эквивалентность этих под­ решеток устанавливается с помощью трансляции — к3. Таким образом, вводится приведенная зона подрешетки. Внутри этой зоны энергия является двузначной функцией к, причем первая

Хартри — Фока, а уровень е2.к описывает виртуальное состояние. Используя известные функции Ванье w(r — г&) (6= Л , В), нетрудно выразить функции Хартри — Фока фцк {i= 1,2) непо­

средственно через блоховские функции подрешетки Фк,ь :

454

Фа ,k = ф2 ,k+ki = (l/]/y ) {2 exp [i(k + k3) rJ w {r — ra) +

+ 2 exp [i (k + k3) rB] w (r — rB) =

= (l/[//V) 1 ехр(1к г ^ ) ^ ( г - г л) — 2exp(ikrB) X

X (г — rB) ] = (1/ 1/2 )(Фкл + Фкв).

функции оператора # коР1> в виде линейной комбинации:

где цк a, V a — коэффициенты, подлежащие определению.

Как будет показано ниже, корреляция сводится эффективно к свободному объему для каждого электрона, что согласуется с принципом неопределенности для наибольшей дисперсии им­ пульса электрона Лк (или для кинетической энергии). Однако согласно теореме вириала увеличение кинетической энергии свя­ зано с увеличением потенциальной энергии, что способствует стабилизации однокомпонентной электронной системы. Добав­ ление виртуальных состояний фг.к увеличивает кинетическую

смысл сделанных приближений обсудим подробнее ниже, а сей­ час продолжим вычисления.

где е — одноэлектронная энергия с учетом корреляции, а

^ /a 4 % ,k ( ^ k ,a - ^ k .a 0 % .k d l/

Из уравнения (44.29) следует:"

455

Пусть величины -2 действительны. Тогда коэффициенты ак а ,

Для унифицирования обозначений в двух случаях f и ( по­ ложим 0k = 0kt = — 0ki . Тогда волновые функции (44.27) можно записать в виде:

ное состояние системы. Отметим, что функции (44.36) иден­

фк _t = COS 0к Фк ,А+ sin 0к Фк ,В ;

Срк + = sin0кфк,л -h cos0kOk,B,

где

456

Для конкретных вычислений можно применить так называе­ мый модифицированный метод молекулярных орбиталей Г27 ], используя для получения корреляционной энергии аппрокси-

мацию (44.23) для массового оператора М. С другой стороны, этот метод может быть использован для оценки матричных эле­ ментов. Оказывается, что эти матричные элементы слабо зави­ сят от к, что облегчает численные оценки. Корреляционные поправки в изложенной модели характеризуются в конкретном кристалле величиной б£’ Естественно, что эти поправки сильно-

зависят от плотности частиц в системе. В случае rs^>l (сильная связь электронов) и в случае /"S<C 1 (система со слабой связью) требования к точности вычисления корреляционной энергии, конечно, различны. Качественное различие этих двух предельных случаев по плотности электронов можно продемонстрировать

Для больших Я (Я>1), соответствующих растяжению решетки и снижающих тем самым плотность электронов, отталкивание электронов [см. формулу (44.37) | превалирует над членом, описывающим независимые частицы, электроны сильнее свя­ заны с ядрами, чем в оригинальной решетке.

Для малых Я (Я<1) решетка сжата, плотность электронов становится выше нормальной и вклад корреляции электронов становится несущественным по сравнению с вкладом от члена независимых частиц, т. е. при больших сжатиях, как отмечалось в десятой главе, электроны ведут себя почти как свободные. В первом приближении случай слабой корреляции лучше всего описывается методом Блоха, в то время как в пределе сильной корреляции можно воспользоваться методом Гайтлера — Лон­ дона или выражением Бракнера для корреляционной энергии электронного газа на компенсирующем фоне положительного заряда (см. десятую главу).

Представленная здесь модель призвана описать корреля­ цию электронов в промежуточной области по плотности элек­

457