Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 139

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

175

§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ НА ДВА СОМНОЖИТЕЛЯ

При решении задачи выделения первой составляющей в § 2 и 3 получены уравнение для первой и общее уравнение для осталь­ ных составляющих процессов. Эти результаты позволяют осущест­

вить приближенное разложение передаточной функции замкнутой системы (I.I) на два сомножителя. Общие выражения этих сомно­

жителей будут получены в данном параграфе. Затем указанные сом­ ножители будут использоваться в следующей главе для полного раз­ ложения передаточной функции замкнутой системы на простейшие сомножители первого и второго порядков.

Задача разложения передаточной функции (I.I) на сомножите­

ли означает, что должно быть осуществлено разложение на свои

сомножители знаменателя и числителя этой функции. Однако для знаменателя такое разложение уже выполнено. Один из основных результатов задачи выделения первых составляющих в этом и со­ стоит. Сомножителям знаменателя функции (I.I) соответствуют

левые части уравнений для первой и остальных составляющих про­ цессов - сомножители разложения уравнения (3.27).

Задачу приближенного разложения функции (I.I) рассмотрим последовательно для случаев, когда первая составляющая имеет уравнение первого и уравнение второго порядков.

Для первого случая сомножители разложения уравнения (3.27), если их объединить вместе, составляют следующую систему урав­ нений:

( ап -,Р + ап) л , - О )

/

п ~ 1

п - г

+

 

(3.106)

[ а 0 р

+ а , р

 

+ ® n - t P + а

~ ^П-Г Х Г

•or • ~ 1 Г

 

'

Система (3.106) записана с учетом (3.38)

и (3.42).

Система (3.106)

справедлива при любых начальных условиях

для координат

л 7 и

и в то же время в этих уравнениях от­

сутствуют члены, характеризующие эти начальные условия. Так

произошло потому, что с самого начала использовалось уравнение системы в форме (3.27), в котором также отсутствуют члзны, ха­

рактеризующие начальные условия. Для начальных условий в зада­

че выделения первых составляющих получены самостоятельные со­

отношения (3.43) и (3.45).

Будем рассматривать уравнение системы, в котором имеется

176

правая часть, т.е. имеются члены, через которые учитываются

начальные условия. Это уравнение записывается [совпадает с

( ! . !') ] :

(/ а 0 р л+ Ojp л-/+•

+ ° п - г Р + а п - , Р +

а п ) х =

= (Ь0 р т+ ъ , р т ~’+ -••+ Ьт- г р г+ Ь т_ , р +

b m) f .

Осуществим приближенное разложение уравнения (3.107) на

систему двух уравнений,

в которых будут присутствовать члены,

учитывающие начальные условия. Сделаем это с учетом разложе­ ния (3.106) и соотношений для начальных условий (3.43) и (3.45). Разложение, которое должно быть получено, будет соот­

ветствовать и разложению функции (I.I).

Систему искомых уравнений, учитывая (3.106), запишем

{a n - i P + o „ ) x t = ( т 0 р + m , ) f i

( а 0 р ”- \ а , р п- г+

 

 

(3.108)

•+ a n - z p + a n- i ) x \> = >

 

 

= ( п 0 р т~1+ п 1р п'-г+

’ + п т. г р + о п. , ) х г

Свободный член в полиноме правой части второго уравнения

(3.108) записан равным

а л_?

потому,

что для установившихся

режимов

 

 

 

 

 

х $ =

Х 11

(3.109)

что следует из уравнения (3.41).

 

 

Теперь задача состоит в том,

чтобы выразить коэффициенты

правых частей уравнений

(3.108)

через

коэффициенты правой и

левой частей уравнения (3.107). Для этой цели будем использо­

вать

формулы пересчета начальных условий,

которые имеются

в

[62].

Правда, при определении коэффициента

т } эти формулы

ис­

пользоваться не будут. Применительно к уравнению (3.107) фор­

мулы пересчета

записываются:

х ( 0 ) = 0 ;

я ( О ) = 0 ; . . . } х (п~т ь ') ( о ) = 0 ;

x (n~m ] {0) = ^ f j

(3.IIO)

 

а 0

(п - т ) (ob

X (n- т +1)

(0)

J

 

 

 

177

 

ао

а 0

ио

 

 

 

\ (ЗЛЮ)

х {п~ % ) =

f -

 

x ln~m , { o l r % x ih~zH o ) .

 

 

 

«о

Формулы (ЗЛЮ)

записаны с учетом того, что рассматривают­

ся лишь переходные характеристики систем и поэтому начальные

условия до скачка ( t = - 0 ) равны нулю, т.е . до этого момента

координата х и все ее производные равны нулю. В формулах че­ рез х ( 0 ),х(о^,...,лг" ({^обозначены начальные условия после скачка

( t = +0 ).

для определения коэффициента т 1 в первом уравнении (3ЛОЗ)

воспользуемся условием совпадения для установившихся режимов значений всех точек координат х , х ?и Условием совпаде­

ния для этих режимов двух последних координат мы уже воспользо­ вались при записи второго уравнения (ЗЛ08). Указанное совпа­

дение для этих координат,

как уже отмечалось, вытекает из

уравнения (3.41). Совпадение на установившихся режимах трех

координат х

; х ,

и х о следует из того,

что в процессах для

уравнения (3.27)

все координаты приходят к нулевым значениям.

Записав выражение для установившегося значения координаты*

из уравнения

(3.107) и для координаты х р - из системы (3.108)

и приравнивая эти значения друг другу,

получаем

 

 

 

 

т , = Ьт .

(З .Ш )

Для определения коэффициента т 0 в первом уравнении

(3.108)

определим сначала

выражение для х, (о) из соотношения

(3.45)

и первого уравнения

(3.108). Для преобразования соот­

ношения (3.45) заменим в нем, имея в виду (3.15) , последнюю производную выражением из формул пересчета (3.II0). Тогда име-

ем

Q п-1

X

 

(°)+яП-1

X

(о) +

а П-1

х

{ n - m + 2 ) t

 

л,(0) =

 

 

 

О m - л

 

п ~ т )

X- z J U r? ~ S n ~ rn 'h tf

г \\ .

& гп ‘ Э

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чо> -

о,

 

Q l

 

( n - Z h

О о ( Ь m-1 r d m - 1

X

 

Qm-Z

\o)

a,

 

 

 

 

 

 

dr

 

b h - ^ x

'

On-1

 

 

 

 

 

 

On

 

n-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dm-3 (n-m+2).

 

 

 

 

o 0

 

 

 

; > ( з .ш )

 

X

(0)-

 

- о

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

не равная нулю,производная есть

Здесь учтено,

что первая,

x (п-т ) ( о ) .

178

Раскрывая в выражении (3.II2) скобки и сокращая подобные

члены, получаем

 

а Л - 7

(з.из)

Из первого уравнения (3.108)

 

по формулам пересчета имеем

x A 0 ) = ^ - f .

(3.114)

1

0п-,

 

Сравнивая (3.II4) и (3.II3), находим

 

r»o=bm_f .

(3.II5)

Выражения для коэффициентов правой части второго уравнения

(3.108) определим из следующих соображений. Соотношения для

начальных условий по координате

(3.43) означают, что на­

чальные условия для этой координаты,

вычисленные по формулам

пересчета через коэффициенты второго уравнения (3.108), должны совпадать с начальными условиями для координаты х , вычислен­ ными по формулам пересчета через коэффициенты уравнения (3.J07). Обратим внимание на то, что выражения формул пересчета,

по существу, не зависят от порядка правых и левых частей урав­ нений, а зависят от их разности. Для уравнения (3.107) и вто­ рого уравнения (ЗЛ08) эти разности совпадают.

От порядка левой части зависит, правда, номер последней производной. Для уравнения (З.Ю7) этот номер будет на единицу

больше, чем номер последней производной для второго уравнения (3.108) . Однако сейчас это не имеет значения, так как послед­ няя производная для координаты х [уравнение (3.107)3 в соот­ ношениях (3.43) отсутствует.

Из сравнения уравнения (3.107) и второго уравнения (3.108) видно, что коэффициенты левых частей этих уравнений для одина­ ковых по номерам слагаемых совпадают. Это несомненно упростит определение выражений для коэффициентов n-L уравнения (3.108). Кроме того, обратим внимание на то, что входным воздействием для уравнения (ЗЛО?) является скачкообразное изменение функ­

ции f , а входной координатой для второго уравнения

(3.108) -

величина

х , .

 

 

 

 

Однако для определения начальных условий

нужно

знать

начальное

значение координаты л?,. Это значение х г (0)

выража­

ется по формуле (З.ИЗ)

через величину функции

f

. Имея в ви­

ду зависимость (3.II3),

формулы пересчета (3.II0)

и сравнивая

179

уравнение (3.107) и второе уравнение (3.108), замечаем, что соотношения (3.43) будут иметь место при выполнении условий

Ьт-1

• h - п - т

•

' ' 1 Ьт' -1'

Н mт-Z

Ьт-1

Ь0=п,0 а

’

г

1 п

’

On-,

a n-i

 

 

о П- 1

 

 

 

 

 

 

 

‘т-1

- Пт - 1

Ьт - 1

 

(3.II6)

 

 

 

О п~,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда находим искомые выражения для коэффициентов правой час­ ти второго уравнения (3.108), которые записываются

п -

h

С п ~ '

•

Оп- 1

 

 

_ a

a- H z L .

 

Г !

0

„ ,

,

П , = Ь ,

 

1 п т -г ~ 0 т - г ,О т-, »

 

 

 

0 Ьт_,

 

Ьт-1

 

 

 

 

Jm-i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п т - 1

~ ^ п- 1

 

 

(3.II7)

 

 

 

 

 

 

 

 

Система уравнений (3.108) с учетом соотношений для коэффи

циентов правых частей (8 . I ll) ,

(3.II5)

и (3.II7) приобретает

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ап_ , р + а п) х , = ( b m_ ,p + b m) f

 

 

 

 

[а оРП1+ а,рп г+ "

•+ а п_г р +

a n. , ) x v - { b Q~

::1— р т~г+

(3.118)

,

г впч

 

 

 

4

ит - 1

 

 

 

а п-1

 

 

 

+ Ь’ХГт-1,Р'

т ^ Ьт-

:Р + а п - , ) х ,

 

1 '

приближенное разложение

 

Система

(3.II8) позволяет записать

передаточной функции замкнутой системы (I.I) на два сомножите­ ля. Указанное приближенное разложение будем обозначать фп (р).

Таким образом,

 

получаем

 

 

 

 

 

 

‘М Р ^ Ф б Ы ' М р ) -

(3.II9)

Здесь через Ф5 (р)

 

обозначена передаточная функция для быстро-

протекающих составляющих,

а через

 

Фд'р) -

передаточная функ­

ция для первой составляющей.

 

 

 

В соответствии с уравнениями (3.II8)

передаточные функции

Ф$(р) и

(р) записываются

 

 

 

 

 

, ’ah-1 .m-i

} ап-, .т-г

 

 

П~1

Фб ( р ) =

Ьп т — р

+ о.

Р

+

 

 

и Ь = £ ---------1h n z iL ---------

 

 

--- (3.120)

 

_

п~<

„

Л-2

+ а п - г Р + Яп-,

 

а 0р

 

 

+ а 1 ?

 

+ .

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

% { р )

 

Ьт-г Р +

Ьт

(3 .1 2 1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

Оп-,Р + Ьп ’

Смотрите также файлы