Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 156
Скачиваний: 0
242
ставляющих записывать нак левые части уравнений, так в общем виде и правые части.
При выделении первой составляющей вместо (4.130) получаем
систему [см. (3.II8)].
( ° n - i P + ° п ) х , = ( b m - i P + b m ) f ;
(а оРП~1+a iP n~Z+ ■ |
• • + |
а п -гР + Q n -f)x 4 = |
|
( г . ^ П - 1 - Г П - 1 |
г. а П - 1 . |
т - ъ |
. Q n - I _ . / т о т |
= \ЬоТ ~ Р |
Ь'Т ~ ,Р |
|
+'-'+Ь'”-гГ-Р+ап-№ (^ 188) |
и т~1 |
и т-1 |
|
°т-1 |
При выделении следующей, второй, составляющей необходимо
результаты, полученные для уравнения (3.107), применить ко
второму уравнению (4.133) с учетом того, что это уравнение от личается от уравнения (3.107) индексами коэффициентов и другой
структурой коэффициентов правой части. В итоге вместо (4.133) получаем систему уравнений
( а „ - , р + a n) x r = ( b m - i Р + bm ) f ■>
^а п-зР + ап-гР + an -i):xz~fim-3 ь |
Р |
+ Ьт -ги |
P + an-i)x P |
||
|
|
|
|
|
7 ( 4 . 1 3 4 ) |
(a0p n~3+ a lPn~ \ - ' - |
+ а п^ р + а п. 3 ) х 3 = |
||||
1 & П - 3 |
! 7 1 - 3 4 О П - 3 |
/77if |
f |
O n - Z |
> |
(bolT ^ P |
+bi f ^ P |
+ --- + Ьт -^ ~ Р + ап-з)хг- |
|||
° т - з |
° т - з |
|
|
От-з |
|
Осуществляя аналогичное применение результатов, составлен ных для уравнения (3.107), к последним уравнениям получающихся
систем,в итоге вместо (4.132) найдем
( a n-,P + a n) * , = ( b m- , P + bm ) f ;
(а п - з Р + а п - г Р + b n - i ) x |
z ~ \ Ьт - з Т |
Р + Ьт-г~1 P + b n-i)x v |
|
|
|
0 W -1 |
и■'т-1 |
(4.135) |
|
|
|
|
|
|
|
Оз |
z t |
\ |
|
( а ,/ Л а г р + а 3) х ^ ( кЬ) — |
р + Ьг ^ р + а 3) х 4 _ г ; |
|
||
( а оР + |
a 7) . r v = ( Ьо Т ~ Р + |
в/)**-/- |
|
|
°1
24S
Систем (4.135) позволяет записать приближенное разложение фп( р ) передаточной функции замкнутой системы (I.I) на простейшие
сомножители. Для этого разложения имеем
Ф„ (/>)=$* (Р) $ v -i (p)f . . . , Ф г (р)Ф1(р)- (4.136)
Здесь через Ф,(р), Фг (р),-- •, Ф^,(р)иФ/р)обозначены передаточ
ные функции для отдельных составляющих, начиная от первой до \) составляющей. В соответствии с уравнениями (4.135) эти пе редаточные функции записываются
ф { р ) = Ь я £ * * > ;
'и а п_]р + а п
|
|
|
П-1 |
П~1 |
|
Jm~ 3 b m - , P |
+ Ь т-г Ьт-1 |
||||
Р + ° п |
|||||
Фг(р) |
|
|
|
(4.137) |
|
а п - з Р + ^ п - г Р |
|||||
+ & п- 1 |
|||||
|
0-3 |
2 , |
г. |
|
|
_ |
ь1 ЬзР |
|
Ьз Р + ° 3 |
||
ф * - Л р ) |
а , Р |
+ |
а г Р |
+ 0 3 |
|
|
|||||
ф ^ ( р ) = Ьо% .Р * Ч - . |
|
||||
г |
а0р + а1 |
|
|||
Если индексы для каких-либо коэффициентов ъ в функциях типа (4.137) становятся отрицательны!®,то эти коэффициенты принимаются равными нулю в соответствии с тем, что они отсут
ствуют в уравнении (3.107). Принимаются равными нулю и отношения этих коэффициентов.
Передаточные функции (4.137) соответствуют конкретному
сочетанию порядков уравнений отдельных составляющих процессов. Однако анализ рассмотренного сочетания распивает общие законо
мерности формирования передаточных функций составляющих. Передаточные функций должны формироваться при их последо
вательном выделении, начиная с первой составлящей (возможен и другой подход). Если очередная составляющая имеет первый по рядок, то ее передаточная функция записывается
,Of n - i
m-i-1 bt |
Р + 0 п-1 |
Ф ( р ; = . |
(4.138) |
1П-С-1 |
+■ а П-L |
Если очередная составляющая имеет второй порядок, то для нее
передаточная функция имеет, вид
244
|
|
ln-L |
Qn-L |
|
|
|
ьm - i - г bt t i P + b n - l - i t t P + O n - l |
(4.139) |
|||
b i ( p ) = |
|
+ |
ct , |
||
|
|
|
|
||
|
a n-L- z P + ®n-L-]p • |
“ ri-L |
|
||
В (4.138) и (4.139) |
через J- |
обозначен номер очередной состав |
|||
ляющей, |
а через L- |
суммарный порядок уже выделенных состав |
|||
ляющих. |
В числителях (4.138) |
и (4.139) для первой составляю |
|||
щей свободные коэффициеты равны Ът .
При составлении передаточных функций (4.138) и (4.139) долж
ны учитываться замечания в отношении отрицательных индексов для коэффициентов,,6 ” . Эти замечания были изложены после состав ления функций (4.137).
§ 8. ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПО АЛГОРИТМАМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ЗАПАСОВ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТШ
При рассмотрении кратких сведений об алгоритмах исследова ния автоматических систем указывалось, что запасы устойчивости
систем для колебательных составляющих оцениваются с помощью ко лебательностей р е п овсем составляющим оцениваются путем ис
пользования соотношений, которые получены из уравнений границ рабочих областей типа (I .51), (1.63) и (1.78). Указанные соот
ношения записаны ниже, в данном параграфе.
Каждое из уравнений границ рабочих областей (1.78) опреде ляет граничное значение коэффициенте* номер которого совпада ет с номером уравнения границы. Будем считать, что запасы устойчивости системы тем выше, чем больше отличаются значения
коэффициентов от их граничных значений. Тогда соотношения, по которым целесообразно оценивать запасы устойчивости систем, бу
дем записывать
07
2) /77,
3,2
3)
/71, , =
3,з
4 )
т 2,к
6 at |
|
г г ' |
_з |
3 - 1 |
|
Г О а-тао |
|
||||
J3 Li1 + |
1 |
- G,* |
f Q6 |
.1 |
|
|
|
и. |
|
) |
(4.140) |
|
R |
а; |
|
|
|
аза, |
г |
ага'0\-Ъ'-,г |
|
‘7a^0]a5af,S| |
|
1+ 9 ^ + г Ч^ТГ;-гР) - аТ + О МЧ1' -Ш а? / gf J.
J
245
5 )
т3>5
т.3,п
а,,-г
При использовании (4.140) запасы устойчивости систем оце
ниваются с помощью коэффициентов |
5 ^ |
з »••• i m i , n ' |
Для границ рабочих областей эти коэффициенты равны единице. |
||
Чем меньше значения указанных коэффициентов, |
тем глубже внутри |
|
рабочих областей располагаются точки, соответствующие коэффи циентам уравнений систем, и выше запасы устойчивости.
|
Целесообразность оценки запасов устойчивости по коэффициен |
|
там |
определяется, |
во-первых, тем, что использовать оценки |
по колебательностям |
р , вычисляемым по приближенным уравне |
|
ниям составляющих процессов, можно лишь в случае, если все т^ равны или меньше единицы (если выполняется исходная предпосыл
ка метода). Кроме того, параметры |
, если выполняется исход |
||
ная предпосылка метода, характеризуют |
удаленность значений коэф |
||
фициентов уравнения от границ рабочих |
областей (см.гл.У). |
|
|
Формулы для колебательностей р |
записаны в § |
3 гл.УТ. |
Как |
указывалось в главе I, целесообразно использовать |
формулы, |
ко |
|
торые получены с учетом исправления ошибки в процессах при зна
чительных колебательностях.
§ 9. О ВОЗДЕЙСТВИЯХ, ОТЛИЧНЫХ ОТ СКАЧКООБРАЗНЫХ
Во всех изложенных выше главах и параграфах рассматривались
процессы в системах при скачкообразных входных воздействиях и
преднулевых начальных условиях, т.е. рассматривались переход ные функции систем. Для этих же воздействий были получены ре
зультаты по задаче разложения процессов на отдельные составляю щие и были сформулированы правила составления приближенных пе редаточных функций систем.
246
Данный параграф посвящен изложению возможного подхода к обобщению результатов по разложению процессов на отдельные со ставляющие и приближенным передаточным функциям на случаи изме
нения воздействий по законам, отличным от скачкообразных.
Указанный подход будет рассмотрен в общем плане. Более конкретно будет проведено исследование по использованию при-
,блшсенных передаточных функций для. определения амплитудных частотных характеристик замкнутых систем. Ниже последние результаты будут использованы также при составлении алгорит
мов определения полосы пропускания частот систем.
Д л я в х о д н о г о в о з д е й с т в и я произ вольного вида, прикладываемого в момент t = +0, переходный, процесс при преднулевых начальных условиях может быть подсчи
тан на основании интеграла Дюамеля-Карсона по переходной функ-
цииA(t) |
jn(*)= A( i ) + JVftjA( t - t ) d ? , |
14.141) |
|
О |
|
|
A{i) = f{+0) A (t) , |
(4.142) |
где f(+0)- значение входного воздействия при t = |
+0; |
|
'о - |
вспомогательное время суммирования, |
изменяющееся |
|
в пределах от нуля до рассматриваемого текущего |
|
момента времени;
цроизводная от входного воздействия в момент V .
При использовании точной переходной характеристики систе мы зависимость (4.I4I) дает точную кривую на выходе системы. При использовании приближенной переходной характеристики, по
лученной на основе приближенного разложения цроцессов на со ставляющие, это положение нарушается. При этом точность опре
деления переходного процесса зависит, в первую очередь, от точности приближенной переходной характеристики системы. Од нако существенное и даже в некоторых случаях определяющее влияние на точность вычисления переходного процесса оказывает
закон изменения входного воздействия.
Для того чтобы цроиллюстрировать такое влияние, обратимся к случаю изменения входного воздействия по синусоидальному
закону и будем рассматривать ошибки в определении амплитуд ных частотных характеристик, которые будут использоваться так. же, как выше указано, для определения полосы пропускания час
тот систем.
Для того чтобы убедиться в справедливости вывода о возмож
ных больших ошибках в амплитудах выходного сигнала, достаточ
но обратиться к интегралу в соотношении (4.I4I). При синусо