Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 152
Скачиваний: 0
252
при решении задачи разложения процессов на составляющие для систем различных,порядков, т.е. будем последовательно рассмат
ривать системы третьего, четвертого и более высоких порядков.
Однако в отличие от указанной методики будем предполагать,что увеличение порядков уравнений систем, переход от уравнений от носительно низких порядков' к уравнениям более высоких порядков осуществляется добавлением слагаемых с высшими степенями р .
Ранее это достигалось добавлением слагаемых с низшими степе
нями р [см., например, (1.48) и (1.57)] . В общем случае,если имеется уравнение п -1-го порядка
а о,п-,РП~'+ а 1, л - , РП~г+аг,п-,Р ~ + --- + ал-г,п-,Р +ап-,,п-тЦА’ 15д'>
то уравнение п -го порядка будем записывать
а о , п р П + в , , п Р П ~ ,+ а г , п Р П ~ г + - - + a n - z , n p Z + a n - h n P + a n , n = 0 ’ ^ - 1 6 0 )
предполагая
а1,п~^0,П-1аг,П~ У аз,п~<-1г,п-п ’ ®П-1,П ~ QП-2 ,Г -11
Идея анализа приближенных амплитудных частотных характе ристик систем будет заключаться в том, что сначала для систем
сравнительно низких порядков (третьего и четвертого) будет по казало, что при выполнении исходной предпосылки метода и при
увеличении порядка уравнений систем путем добавления в урав нения слагаемых с более высокими степенями р логарифмические амплитудные частотные характеристики для составленных таким образом уравнений могут быть получены, сложением характеристик, а именно: характеристик, соответствующих уравнениям, в которых отсутствуют добавляемые затем слагаемые, и характеристик, соответствующих составляющим [сом-южителям функции (4.136)] ,
вуравнения (передаточные функции) которых входят коэффициен ты добавляемых слагаемых. Такой результат означает, что для
систем сравнительно низких порядков при определении амплитуд ных частотных характеристик можно исходить из приближенных пе
редаточных функций систем, полученных путем приближенного раз
ложения на сомножители функций, соответствующих (I.I). Ошибки
впротекании определяемых таким образом характеристик лежат в допустимых пределах.
Изложенный выше результат обобщается затем на системы бо-
-253
лее высоких порядков. Для обоснования этого обобщения проводит
ся анализ амплитудных частотных характеристик, соответствующих приближенным передаточным функциям, для системы пятого поряд
ка. Этот анализ подтвердил справедливость указанного обобще ния.
Для простоты исследований будем далее считать для функции
(4.143)
Ьт = а п . |
(4.162) |
Исследования будем проводить в предположении, что исправление коэффициентов в уравнениях колебательных составляющих не осу
ществляется. При исправлении этих коэффициентов указанные ошиб ки приближенных амплитудных характеристик будут уменьшаться.
Система третьего порядка
Для анализа приближенных амплитудных частотных характери стик в данном случае достаточно рассмотреть их протекание для точек рабочей области, представленной на рис.1.49. Для наиболее характерных точек этой области точные и приближенные кривые
(JLAX) показаны на рис.4.15.
Для первой рабочей подобласти, где первая составляющая
имеет уравнение первого порядка, будем считать, что уравнение третьего порядка получается путем добавления двух слагаемых к уравнению первого порядка, описывающего указанную первую составляющую. Уравнение первого порядка записывается
Аг.эР + А3, 3 = 0 . |
(4.163) |
При добавлении двух слагаемых, имеющих более высокие степени, получается уравнение (1.49) для системы третьего порядка.
Передаточная функция, соответствующая (4.163), записывает
ся
$,(/>) = |
13,3 |
(4.164) |
|
р + Д3,3 |
|||
|
|||
2,3 |
|
Тогда приближенная передаточная функция для системы третьего
порядка имеет вид
* п(р) = Фг (Р >* Лр)> |
(4.165) |
|
254 |
255 |
as
Рис.
256
где
(4.166)
Логарифмические амплитудные характеристики, соответствую щие функциям (4.164), (4.166) и (4.165), представлены на
рис.4.15,а . На этом рисунке сплошными линиями показаны при ближенные MX для указанных функций, а пунктирными - точные
лау для этих же функций. Вертикальные сплошные и пунктирные прямые на рассматриваемом рисунке отвечают сопрягающим часто там соответственно функций (4.164), (4.166) и (4.143).Указан ные здесь линии и прямые будут иметь такой же смысл и для дру
гих рисунков, где представлены логарифмические амплитудные ха рактеристики.
Из протекания логарифмических амплитудных характеристик, показанных на рис.4.15,а, видно, что использование приближен ной передаточной функции (4.165) для определения амплитудных частотных характеристик вполне допустимо, так как приближен
ные характеристики правильно отражают цротекание характери стик, соответствующих (4.143), и ошибки для приближенных ха рактеристик AL лежат в диапазоне
A L ~(0 * 8) дб. |
(4.167) |
что можно считать допустимым.
Рассмотрим цротекание амплитудных частотных характеристик с точки зрения влияния на эти характеристики слагаемых харак теристического уравнения, соответствующих более высоким степе
ням р по сравнению со слагаемыми для характеристического уравне ния (см,(4.164)] первой составляющей, т.е. рассмотрим влияние
слагаемых, соответствующих быстропротекающей составляющей. Правда, здесь могут быть и две быстропротекающие составляющие, так как к уравнению (4.163) добавляется два слагаемых, соот
ветствующих передаточной функции (4.166).Воли передаточная функция (4.166) соответствует колебательной составляющей, то будет одна быстропротекающая составляющая. Если (4.166) должна представляться передаточными функциями для двух апериодических
составляющих, то будет две быстропротекающие составляющие. Од нако для простоты формулировок будем говорить о влиянии быстро протекающей составляющей, имея в виду, что здесь могут быть и
две быстропротекающие составляющие. Для удобства будем так по ступать и для систем более высоких порядков.
257
Из рис. 4.15,а видно, что на частотах, которые лежат левее сопрягающей частоты для первой составляющей, и на некотором
участке частот, расположенном правее указанной сопрягающей
частоты, влияние рассматриваемой быетропротекающей составляю щей выражается в некотором изменении ординат характеристик. Однако это влияние невелико.
На остальных частотах влияние слагаемых, соответствующих
быстропротекагацей составляющей, выражается в принципиальном изменении хода характеристики, что связано, в первую очередь, с изменением наклона асимптотической ЛАХ. Однако ошибки в про
текании характеристик и на этих участках оказываются допусти мыми.
Для второй рабочей подобласти, где первая составляющая
имеет уравнение второго порядка, будем считать, что уравнение третьего порядка получается путем добавления одного слагаемо го к уравнению второго порадка, описывающего указанную первую составляющую.
Уравнение второго порядка записывается |
|
|
Л |
А 2, з />+ А37з = 0. |
(4.168) |
При добавлении к (4.168) |
слагаемого р 3 получается уравнение |
|
(1.49) для системы третьего порядка. |
|
|
Передаточная функция, соответствующая (4.168), |
записыва |
|
ется |
|
|
|
А3,з |
(4.169) |
%(р) = |
||
Р г + &2,з Р + Аз,3
Тогда приближенная передаточная функция длясистемы третьего норядка имеет вид (4.165), а Фг (р)записывается
1 |
(4.170) |
Фг ( р ) = р + 1 |
|
Точные и приближенные амплитудные частотные характеристики для второй рабочей подобласти, соответствующие различным точ
кам этой подобласти, представлены на рис.4.15,б. Сравнение ха
рактеристик показывает, что использование приближенной переда точной функции (4.165) для определения амплитудных частотных характеристик вполне допустимо, так как приближенные характери
стики правильно отражают протекание точных характеристик,соот ветствующих (4,148), и ошибки не выходят из диапазона (4.167).
258
259
Рис
4.16
260
Таким образом, результаты сравнения точных и приближенных характеристик для данной рабочей подобласти совпадают с таки
ми результатами для первой рабочей подобласти.
Аналогичным образом совпадают результаты сравнения харак теристик с точки зрения влияния слагаемого, соответствующего быстропротекаицей составляющей. Указанное влияние легко обна ружить по характеристикам, представленным на рис.4.15,б.
Системы четвертого порядка
Для системы четвертого порядка приближенные и точные ло гарифмические амплитудные характеристики в качестве примера
представлены на рис.4,16. Сравнение характеристик показало, что те выводы, которые были получены для системы третьего по
рядка, полностью справедливы и для данной системы. Поэтому подробныйанализ характеристик здесь приводить не будем, а сра зу изложим общие результаты.
Для системы четвертого, как и для системы третьего поряд
ка, вполне возможно для определения амплитудных частотных ха рактеристик использование приближенных передаточных функций.
Приближенные характеристики правильно отражают протекание точ ных характеристик, соответствующих (4J43) и ошибки при этом
не выходят из (4.167).
Для частот, которые лежат левее наибольшей сопрягающей частоты для медленно протекавших составляющих, и для некото
рого участка частот, расположенных правее указанной сопрягаю щей частоты, влияние слагаемого, соответствующего быстропроте-
кающей составляющей, оказывается сравнительно небольшим и не изменяет вывода о возможности использования приближенных ам плитудных частотных характеристик.
На остальных частотах влияния слагаемого, соответствующего быстропротекаицей составляющей, выражается в принципиальном
изменении хода характеристики, что объясняется, как и для си стемы третьего порядка, изменением наклона асимптотической ЛАХ.
Ошибки в протекании характеристик все же остаются и на этих частотах в допустимых пределах.
Физически полученные результаты могут быть объяснены, ви
димо, следующим. В целом относительно малые ошибки в протека
нии приближенных амплитудных частотных характеристик связаны