Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

247

идальном загоне изменения входного воздействия по такому же закону будет изменяться и производная от входного сигнала,ко­ торая стоит под знаком интеграла. В этом случае даже при неиз­ менном знаке для функцииA (f-^рассматриваемый интеграл будет

формироваться путем алгебраического сложения сумм различных знаков и окончательно этот интеграл может получаться как раз­

ность двух больших чисел одинакового знака. Даже сравнительно небольшие ошибки в каждом из этих чисел могут приводить к су­ щественным ошибкам в окончательном результате.

Таким образом действительно, при синусоидальном законе

изменения входного воздействия ошибки в определении амплитуд­ ных частотных характеристик могут быть весьма существенными.

Положение не изменяется от того, что при определении амплитуд

ки вызваны не только ошибками в переходных характернотиках,но и связаны с законом изменения входного воздействия.

Из сформулированного вывода не следует, что приближенные переходные функции, приближенные передаточные функции систем

Фп (р) нельзя использовать для оцределения амплитудных частот­ ных характеристик систем. Специальное исследование, которое излагается ниже, посвящено обоснованию возможности определять амплитудные частотные характеристики с использованием Фп ( р)

в случае, когда в числителе передаточной функции (I.I) имеет­ ся только свободный член и она приобретает вид

Можно использовать непосредственно цриближенные передаточ­

ные функции для определения амплитудных частотных характери­ стик и в других случаях. Однако для выявления условий, каким эти случаи должны удовлетворять, потребовались специальные исследования, которые изложены также ниже.

Вместе с тем оказывается, что возможность использовать, когда (I.I) соответствует (4.143), приближенные передаточные

функции для определения амплитудных частотных характеристик

имеет значение и для оценки свойств систем по амплитудным и частотным характеристикам в общем случае.

Для того чтобы показать это положение, представим функцию

(I.I) в виде

248

где

и

Вдальнейшем вместо обычных амплитудных частотных характе­ ристик для удобства при графических представлениях будем ис­

пользовать логарифмические амплитудные частотные характеристи­ ки (ЛАХ), в том числе и асимптотические.

Как видцо, (4.146) соответствует (4.143), и определение амплитудных частотных характеристик, соответствующих этой функ­

ции, южет быть выполнено приближенно. С другой стороны, сомно­ житель (4.145) функции (4.144) не имеет знаменателя и поэтому

ЛАХ для него будет состоять из слагаемых, каждое из которых увеличивает наклон вверх асимптотической ЛАХ. Действительная ЛАХ для (4.145) может располагаться как ниже, так и выше асимп­ тотической и даже может иметь существенные "провалы" в своем протекании (см., нацример, [39[] ). Будем этими "провалами" пре­

небрегать, как не отражающими общее протекание характеристик.

Вэтом случае максимумы кривой амплитудной частотной характе­ ристики для функции (4.144) могут иметь место только в районах сопрягающих частот для сомножителя (4.146), так как на этих частотах происходит увеличение наклона асимптотической ЛАХ вниз.

Всвязи с этим оказывается, что для оценки свойств’Систем

по амплитудным частотным характеристикам необходимо знать зна­ чения этой характеристики в районах частот, соответствующих

корням знаменателя сомножителя (4.146). Для этого нужно знать сами корни. Однако вместо этих корней могут использоваться эф­ фективные корни, так как их применение [применение приближен­

ной передаточной функции вместо (I.I J, как показано ниже, да­

ет цравильное выявление очертаний амплитудной частотной харак­

теристики, соответствующей (4.143) или (4.145).

§ ю . приближенный; амплитудные частотные характеристики

ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ ПРИ Б0ЛЯ1МХ И МАЛЫХ ЧАСТОТАХ В данном параграфе будут получены результаты, которые спра­

ведливы как для (4.143), так и для передаточной Функции вида

(I.I).

249

функция (IЛ ) есть точная передаточная функция систем в общем случав. Для амплитудной частотной характеристики и ло­ гарифмической амплитудной характеристики имеем

Д(оо) = V ( Ът~ Ът-г + ^(4.147)

1 /W ап-г(° г+ ап - ^ . . . ) г+ (ап_,со - с7„.3ш3+ап_5ш5- ■■}

LfahlOl ^/(Ьт~Ьт- г^ г+Ьт- ^ - •••Г+ (Ьт-,а -Ь т.3^ Ъ т_5и --^ i4g) У(ап~ап. ^ + а п^ с о \ . . ) г +(Qn„,CQ-a„_3co3+bm-s a>s— .)*

Для со = 0 амплитудная частотная характеристика будет

ные характеристики на некоторых диапазонах малых значений со .

Зависимости (4.I5I) и (4.152) описывают амплитудные частот­ ные характеристики не только яри стремлении со к бесконечности, но и на некотором диапазоне больших значений со . Таким образом, (4.152) является здесь последней асимптотой.

Приближенная передаточная функция в общем случав соответст­ вует (4.136). Для приближенной амплитудной частотной характе­

ристики запишем

Для сомножителей А^, Аг , А у -выражения будут различными в зависимости от порядков составляющих, т.е. в зависимости 6т значений параметров j>; , рг , . . . , р •, ...

250

Для составляющих первого порядка в соответствии с (4.138)

имеем

(4.154)

Для составляющих второго порядка в соответствии с (4.139) за­

писываем _______ :

Для логарифмических амплитудных характеристик вместо (4.153) записываем

Л (со) = Д,(со) + Ц(<х))+ •■ • + L^isx>) +■ ••• (4.156)

Для выраженийL, (со)-,Lг {со)-,..:,Lj(со);.,-из (4.154) и (4.155) соот­ ветственно имеем

(4.157)

и

(4.158)

Для со= 0 из (4.153) с учетом (4.154) и (4.155) и замена— ния, что для первой составляющей в (4.138) и (4.139) свободные коэффициенты в числителях равны Ьт , получим выражение, совпа­ дающее с зависимостью для точной характеристики. Для логариф­ мической характеристики из (4.156) с учетом (4.157) и (4.158)

также получим выражение, совпадающее с зависимостью (4.150)

для ЛАХ точной характеристики.

Отсюда заключаем, что первые асимптоты для ЛАХ, соответст­

251

(1.55) при стремлении со к бесконечности получим после цреобразования также (4.151). При этих преобразованиях необходимо учитывать замечание в отношении отрицательных индексов для

коэффициентов 6 , которые изложены после составления функции

(4.137).

Следовательно, последние асимптоты для ЛАХ, соответствую­ ще точной и приближенной передаточным функциям (I.I) и (4.136), совпадают. Ранее было показано совпадение для этих же функций

первых асимптот.

Графически справедливость изложенных положений иллюстриру­ ется характеристиками, представленными на рис.4.14. Использо­ вание этих положений облегчает понимание результатов, полу­ ченных в следующем параграфе.

§ II. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АМПЛИТУДНЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЛЯ СЖТЕМ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ

Цель данного параграфа заключается в доказательстве снача­ ла возможности использовать приближенные амплитудные частотные

характеристики систем, соответствующих функциям (4.143). При рассмотрении этих характеристик систем и анализе их ошибок бу­

дем придерживаться в основном методики, которая применялась