Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

281

с тем, что сравнительно малые ошибки получаются для переход­ ных характеристик систем при использовании для их построения

приближенных передаточных функций. Причем сравнительно малыми

являются относительные ошибки, вычисленные делением абсолютных ошибок на текущие значения координат. Это положение всегда справедливо, если точная передаточная функция (I.I) имеет з числителе только свободный член [см. (4.143)]. Поэтому, видимо,

при использовании соотношения (4.I4I) для определения выход­ ной кривой при синусоидальном входном воздействии будут иметь

место в данном случае малые ошибки. Для передаточных функций, имеющих в числителе и другие слагаемые, кроме свободных чле­ нов, вопрос об ошибках в определении амплитудных частотных характеристик требует самостоятельного рассмотрения (см.ниже).

Полученные результаты в отношении влияния слагаемых, со­ ответствующих быстроцротекакхцей составляющей, физически объяс­

няются как указанными, так и еще одним обстоятельством. Из­ вестно, что каждый сомножитель передаточной функции, представ­ ленной как произведение простых (первого и второго порядков) передаточных функций, оказывает влияние на протекание общей ам­

плитудной частотной характеристики практически на диапазоне частот, левая граница которого лежит несколько левее сопрягаю­ щей частоты для данного сомножителя. В наших случаях для всех

точек рабочих областей системы третьего и четвертого порядков

сопрягающая частота для сомножителя, соответствующего бнстропротекающей составляющей, лежит всегда правее (с определенным интервалом) сопрягающих частот, соответствующих остальным со­ ставляющим. Поэтому и имеет место сформулированный выше резуль­ тат по влиянию слагаемых уравнений, соответствующих быстропротекающей составляющей.

Системы пятого и более высокого порядков

При рассмотрении возможности использования приближенных амплитудных частотных характеристик для данных систем был ис­

пользован, как указывалось выше, следующий прием. Было выска­ зано предположение, что те общие результаты, которые получены

для систем третьего и четвертого порядков, будут справедливы и для систем более высоких порядков. Основанием для такого

предположения является то оостоятельство, что физические зако-' номерности, которыми обънс .лютея общие результаты, сформулиро-

264

ванные для систем третьего и четвертого порядков, справедливы и для систем более высоких порядков.

Для проверки сформулированного предположения было прове­ дено исследование частотных характеристик для системы пятого

порядка, которое полностью подтвердило это предположение. На этом основании было принято, что те общие результаты, которые

получены для систем третьего и четвертого порядков, справедли­ вы при выполнении исходной предпосылки метода и для систем любых порядков. Точные и приближенные логарифмические амплитуд­

ные характеристики для системы пятого порядка в качестве при­ мера представлены на рис.4.17.

X X

X

Теперь обратимся к доказательству возможности использовать цриближенные амплитудные частотные характеристики систем, со­

ответствующих функции (IЛ ). Однако рассматриваемые амплитуд­ ные частотные характеристики в данном случае будем скроить не по приближенной функции (4.136), сомножители которой соответ­ ствуют (4.138) и (4.139), а по приближенной передаточной функ­ ции, числитель которой приближенно раскладывается на сомножи­

тели иначе, т.е. знаменатель раскладывается на сомножители по прежним правилам, а числитель - по другим.

Будем исходить из представления передаточной функции (1 .1) в виде (4.144). Тогда ЛАХ, соответствующие (I.I), можно опре­

делять суммированием характеристик, соответствующих (4.145) и

(4.146) . Возможность использовать приближенные характеристики, соответствующие (4.146), была доказана выше. Тогда остается до­

ление амплитудных частотных характеристик для функции (I.I).

Методику исследования здесь применим такую же, какая ис­ пользовалась при рассмотрении характеристик, соответствующих (4.146) . Кроме того, не будем, как отмечалось ранее (§9), учи­ тывать "провалы" в амплитудных частотных характеристиках, т.е.

если в протекании действительных характеристик появляются рез­ кие, "местные", существенные уменьшения значений ЛАХ, а в про­

265

текании приближенных характеристик этих уменьшений не обнаружи­

вается, то эти ошибки учитывать не будем.

Предположим сначала, что коэффициенты функции (4.145) удов­

летворяют первоначальной исходной предпосылке метода, подобно тому как этой цредпосылке удовлетворяют коэффициенты знамена­ теля функции (4.146). Будем считать, что функция (4.145) раскла­

дывается на сомножители по .тем же правилам, что и знаменатель

функции (4.146).

Для этих условий было проведено исследование по оценке воз­ можностей использовать указанные разложения функции (4.145) для определения амплитудных частотных характеристик, полностью сов­ падающие по методике с исследованием для функции (4.146). Ил­ люстративные графики представлены на рис.4.18.

Исследование показало (это подтверждают и кривые на указан­ ных выше рисунках) возможность использовать формируемые указан­

ным выше образом приближенные передаточные функции, заменяющие (4.145) , для определения амплитудных частотных характеристик. Ошибки при этом, если не учитывать "провалы" в характеристиках, не превышшот интервала (4.167).

Такое же подробное исследование было проведено применитель­ но к случаю, когда коэффициенты функции (4.145) удовлетворяют расширенной исходной цредпосылке метода (подробно воцрос о

рабочих областях для расширенной исходной предпосылки метода

рассматривается в § 7 главы У), а также для областей значений коэффициентов, границы которых соответствуют зависимостям (5.44) с увеличением коэффициентов q- до единицы.

Результаты исследования полностью совпадают с результатами, которые были получены для (4.146), при удовлетворении коэффи­ циентов этой передаточной функции исходной цредпосылке метода.

Графический иллюстративный материал по данному исследованию представлен на рис.4.1,3.

Наконец, рассматривался случай, когда коэффициенты функции (4.145) могут быть произвольно различных знаков. Йели рассмат­ ривать вместо значений’коэффициентов их абсолютные значения,то требовалось, чтобы в этом случае коэффициенты функции (4.145)

удовлетворяли зависимостям (5.44) при значениях коэффициентов (fa , равных единице. Здесь также был получен удовлетворитель­

ный результат, т.е. без учета "провалов" в характеристиках мож­

но вместо действительных ЛАХ для (4.145) рассматривать прибли­

женные кривые. Графический материал как иллюстративный здесь представлен на рис.4.20.

270

чить, что эти условия для коэффициентов функции (4.145), при которых можно использовать ее приближенное разложение для оп­

ределения амплитудных частотных характеристик, есть условия общего случая. При этом .разложение функции (4.145) осуществля­ ется по алгоритмам, которые используются при формировании сом­

ножителей знаменателя функции (4.146), но здесь осуществляется

применительно к абсолютным значениям коэффициентов.

Ограничиться рассмотрением указанного наиболее общего слу­ чая оказалось возможным потому, что для исследуемых ниже си­ стем и, видимо, вообще для автоматических систем соотношения

Физически полученный результат, вероятно, может быть объяс­ нен теш же причинами, какими объяснялся выше результат по ам­ плитудным частотным характеристикам для функции (4.146), т.е.

относительно малые ошибки в протекании амплитудных частотных

характеристик объясняются тем, что сравнительно малые ошибки получаются для переходных характеристик систем при использова­ нии для их построения приближенных передаточных функций.

Правда, при построении амплитудных частотных характеристик используется иное разложение числителя функции (I.I), чем при

построении переходных процессов. Однако результат, видимо,был бы справедлив и для такого разложения. Он не применялся здесь

только потому, что для такого разложения потребовалось бы рас­

сматривать значительно большее число вариантов сочетаний зна­ чений коэффициентов числителя и знаменателя функции (I.I).

В протекании амплитудных частотных характеристик для числи­

звенья с малыш значениями £ . В этих случаях ошибки в про­

текании переходных процессов оказываются-наибольшими и связаны с тем,что в приближенном разложении значения ^ оказываются за­ вышенными.Поэтому, видимо, это отражается и на устранении ука­

занных здесь "провалов" в протекании амплитудных частотных ха­ рактеристик.

В заключение по данному параграфу запишем выражения для

сомножителей приближенных разложений функций (4.146) и (4.145), которые будут использоваться цри определении амплитудных частот­

ных характеристик систем.

Для апериодических и колебательных сомножителей указанного разложения функции (4.146) соответственно записываем