Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 148
Скачиваний: 0
|
|
271 |
|
|
|
Ч ( Р ) = |
в n-L________ |
(4.171) |
|
|
Qn -L-iP + a n-L |
|||
|
|
|||
b ( p ) - |
|
Оn-1 |
|
(4.172) |
|
|
|
||
° n - L - г Р + a n - i - i P + a n - i |
|
|||
|
|
|||
Для первой составляющей (4.143) вместо (4.I7I) и (4.172) |
||||
имеем |
|
|
|
|
ф',(р) = ~ -------f |
----------- |
а $,'(/>) = |
----------(4Л73) |
|
а п - г Р + а п-1Р+ап |
|
апчР + ап |
|
|
Сомножители (4.I7I), |
(4.172) |
и (4.173) |
полностью соответствуют |
|
функциям (4.138) и (4.139), индексы j |
и i здесь имеют такой |
|||
же смысл. |
|
|
|
|
Для определения порядка уравнения очередного сомножителя должен использоваться параметр р (1.84), как и для функций
(4.138) и (4.139).
Для сомножителей приближенного разложения передаточной функции (4.145) в отличие от (4.171) и (4.172) будем применять
обозначение |
. Эти сомножители, имеющие числители первого |
|||||
и второго порядков, соответственно записываются |
|
|
||||
|
ф" ( р) - |
b m - i - i P + b m^ |
|
|
|
(4.174) |
и |
|
bm - l |
|
|
|
|
— |
|
|
т-1 |
|
||
|
Ь т -1-2 Р + bm -i-i Р |
(4.175) |
||||
|
^ ' r/ |
b m_-L |
|
|
|
|
Индексы J и I |
здесь также имеют прежний смысл. |
Однако номе |
||||
ра j. очередных составляющих и числа £ |
, определяющие суммарный |
|||||
порядок числителей уже выделенных составляющих, |
в общем случае |
|||||
не, соответствуют номерам j. и числам |
£ , которые получаются |
|||||
для приближенного разложения функции (4.146). |
|
|
||||
Для первой составляющей вместо (4.174) |
и (4.175) |
имеем |
||||
|
% ( Р ) |
Ьщ Ьт-] Р + Ьг, |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
'т
(4.176)
Ь т ~ г Р + b m - i P + b т
------------- А-------
В соответствии с изложенными выше материалами для опреде
ления порядка числителя очередного сомножителя должен исполь-
272
зоваться параметр, аналогичный параметру р [см.(1.84)] . Этот |
|||
и |
* |
к |
|
параметр будем обозначать р |
формула для |
р' имеет вид |
|
|
Ъ, |
|
|
|
'т-с- 21 |
(4.177) |
|
Р е 0,751 bm - i - ) |
|||
|
|||
Если р •=- I, то числитель очередного сомножителя приближенно |
|||
го разложения функции (4.145) |
имеет первый порядок. При p ,f> I |
||
указанный сомножитель будет второго порядка.
X X
X
Объединяя материалы параграфов, в которых рассматриваются амплитудные частотные характеристики систем, запишем зависи
мости, но которым должны вычисляться эти характеристики. При этом будем иметь в виду представление (1,1) в форме (4.144)
Сначала запишем выражения для приближенных разложений функ ций (4.146) и (4.145). Соответственно имеем
‘4Л78>
* : ш = ф#(р) ф>-.,(р)-*Ц(р)"-€(р)ф;'1р)- <4-1та>
Здесь л и л" соответствуют номерам последних сомножителей раз
ложений (4.178) и (4.179).
Учитывая, что (4.146) получается из (4.143) при замене в числителе (4.143) Ьт на а п , а также учитывая (4.I7I) - (4.176) для координат амплитудной частотной характеристики имеем
Ап= ^ - A ^ u j)...A U w )...A ,I(co)A^(u)). . . Aj(co)... а "(ш). (4.180)
Для сомножителей A j |
а А": имеем зависимости: если р < I, то |
|
[ом. (1 .8 4 )] |
* |
* |
.> л |
/ |
(4.I8I) |
А: (со) = --- |
— |
'п-1
если р. ^ I, то [см. (1.84)]
(4.182) .
273 .
воли pj ■=I, |
то Гем.(4.177)1 |
J О |
|
вели pj э I, |
то [см. (4.177)] |
X X
X
По определению амплитудных частотных характеристик для
'функции (4.145) отметим еще одно обстоятельство.
Выше было показано, что при использовании приближенного разложения на сомножители функции (4.145) для определения амплитудных частотных характеристик не учитываются (не выяв ляются) "провалы" в протекании действительных характеристик. Это положение возникает при наличии в приближенном разложении функции (4.145) звеньев второго порядка цри малых по абсолют
ной величине коэффициентах, стоящих прир [см.(4.174) и (4.176)].
С другой стороны, при определении амплитудных частотных характеристик для функции (4.144) оказывается весьма жела
тельным для функции (4.145) иметь приближенное разложение,со стоящее только из звеньев (сомножителей) первого порядка (под робно об этом будет сказано ниже), некоторые из которых или все можно было бы затем объединять в уравнения второго поряд
ка в другом сочетании, не соответствующем исходному варианту.
I Такое разложение в общем случае невозможно, так как всег да в разложении могут быть звенья (сомножители) второго поряд
ка. Однако при условии пренебрежения “провалами" в характери
стиках и вообще при спрямлении характеристик эти звенья могут
быть заменены звеньями первого порядка.
Покажем это на примере звена с положительными коэффициен
тами в уравнении. Это уравнение записывается |
|
( Т 2р 2 + 2 ^ Тр + 1) х 7 = х г |
(4.185) |
и соответствует функции (4.175) при условии
|
274 |
|
7-2 = i p i k z и |
7.ЦТ ~ ~ i' 1 . |
(4 .186) |
O m - i |
am -L |
|
На рис.4.21 для уравнения (4.185) построены MX, соответст
вующие различным значениям ^ (пунктирные щшвые).
д5
Заменим уравнение (4.185) уравнением с двумя сомножителя ми первого порядка, которое записывается
|
X, |
(4.187) |
или с учетом (4.186) |
|
|
'&т-1 - г |
Ь т-1-i р + J |
X } = X Z . (4.188) |
^ т - 1 - 1 |
m -i |
|
|
Ь т - |
|
На рис.4.21 для уравнения (4.187) также построены ЛАК, соответствующие различным значениям ^ (сплошные кривые).
Сравнение сплошных и пунктирных кривых показывает допусти мости перехода от (4.185) к (4.187) с точки зрения протекания амплитудных частотных характеристик для значений параметра затухания £ = I + 0,5. При условии £<0,5 для уменьшения оши
бок, которые могут быть весьма значительными, целесообразно использовать характеристику для £ = I. Однако ниже не будем учитывать возможность такой замены, имея в виду, что выражен
ные без ее использования характеристики будут протекать выше, чем при осуществлении замены.
275
Замены, аналогичные переходу от (4.185) к (4.187), будут применяться и в отношении других звеньев второго порядка в приближенном разложении функции (4.145), т.е. будут применять
ся к звеньям как с положительными, так и с отрицательными коэф фициентами, так как такая замена оказывается во всех случаях
допустимой.
С другой стороны, замена (4.185) уравнением (4.187) или (4.188) означает, что вместо передаточной функции (4.175) бу дет использоваться функция
(4.189)
Если колебательной является первая составляющая, то вместо вто рой формулы (4.176) будет использоваться
ф 1!( р ) = ^т |
+ |
bm~lP + bm |
(4.190) |
Применение (4.189) и (4.190) позволяет в алгоритме вычис ления амплитудных частотных характеристик исключить операцию
определения порядков составляющих (сомножителей) для функции (4.145). Кроме того, вместо (4.180) можно использовать зави симость
А П = 7 Г А * ( с о ) . •. А : ( с о ) . .. |
|
Qn |
6 |
Для определения сомножителей А^(оо) передаточные функции
А .' ( с о ) . |
( 4 . Ш ) |
должны использоваться
') (4.192)
(4.193)
соответственно для составляющих первого и второго порядков.
27b
Целесообразность использования (4.192) и (4.193) для оп
ределения амплитудных частотных характеристик состоит в том, что их применение эквивалентно объединению сомножителей зави
симости |
(4.180), соответствующих функциям (4.I8I) |
- (4.184), |
в общие |
сомножители Aj зависимости (4.19I ). Это, |
в свою оче |
редь, выгодно с точки зрения размещения в машине чисел, полу чающихся при вычислении А п
Покажем, что функция (4.192) может быть дополнительно пре образована. Рассмотрение данного преобразования целесообразно из методических соображений, так как будет получен результат,
который имел бы место, если бы мы воспользовались сразу пере даточными функциями составляющих, полученными в § 7.
Преобразование состоит в замене числителя функции (4.192),
состоящего из двух сомножителей, |
единым полиномом второго по |
|
рядка так, что вместо (4.192) получается |
|
|
|
Ьпп.-i-± |
|
bm-i ' |
Ьт-i________ |
(4.194) |
|
|
|
'n-L
Йели числитель (4.194) соответствует составляющей второго порядка функции (4.145), то использование (4.194) вместо (4.192) будет означать применение здесь обычного разложения
на составляющие функции (4.145).
Для того чтобы показать возможность замены (4.192) на (4.194) в других случаях необходимо сравнить ЛАХ, соответст
вующие уравнениям
(Т,р + 1) (,Т2 р + /J х , |
= x z |
(4.195) |
и |
|
|
( 7"; Р + Р + l) |
~ Я' |
(4.196) |
|
||
Здесь предполагается |
|
|
b m - i - Z |
|
|
|
> |
(4.197) |
- г |
bm-L-1 |
|
Тг = |
- у — ’ |
|
|
и m-L |
|