Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 121

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

354

Причем нужно иметь в виду, что для изложенных процедур справедливы соотношения

 

Л7, =

 

= Мг =

м'г= •■ . = Мп = м'п = М.

(6.27)

Выше

матрица

м

была записана как слагаемое в представ­

лении матрицы и

(6.20). Для того чтобы после изложенных сей­

час преобразований матрица

И могла быть представлена через

матрицу

tl'n , аналогичные преобразования осуществляем в от­

ношении матрицы

N

с той лишь разницей, что коэффициенты^оп­

ределяются по матрицам М и М 1.Порядок преобразований сохраняет­

ся таким, какой применился при преобразованиях матрицы П . Так, например, при образовании нулей в первой строке матрицы

М должно одновременно осуществляться вычитание элементов первого столбца из элементов всех столбцов, этой матрицы,кро­

ме

первого столбца,

при предварительном умножении элементов

первого столбца на

д, (6.23).

Здесь, конечно, в первой стро­

ке получаются в общем случае ненулевые элементы.

 

 

Таким образом,

вместо N ,

учитывая, что здесь справедли­

вы соотношения, аналогичные (6.27),

получаем матрицу

 

 

П п,п>

П п ,п '

П 13,П‘

•

•

•

П 7п,л'

 

N=U„ =

п ги п '

п г г , п ’

Пгз,п'

*

*

* П 2р,п'

(6.28)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П31,п'

Пз г ,п '

п зз,п'

•

•

•

п 3п, п'

 

 

 

 

 

п т , п '

ЛЛ2 , п '

Л пз,п ' ■ • ■ п пп, п

 

 

Учитывая (6.27) и подставляя (6.26) и (6.28) в соотноше­

ние

(6.20), записываем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тТ1,п' Р +

П 11, п'

Pi z , n '

 

•

•

 

Пт,п'

 

и =

П21,п'

т гг,п'Р+пгг,п‘

п гп,п'

 

 

 

п т , л '

 

Ппг,п'

 

•

•

•

/ 7 7 „ „ „ ' 3 + /? *

 

 

 

 

H/lffl Г

77/7,л

или

И - а И \

(6.29)

355

где

 

П 11,П'

f\j

пп ,п '

 

^ 1л, п1

 

 

 

 

Р

т 11,п1

 

т 11, П1

 

 

 

т 11,п '

 

 

 

 

пг 1, п1

пгг , п '

Р

Ягл.л'

 

(6.30)

И =

771гг ,п '

т гг,п ‘

171гг, л'

 

0

 

 

 

*

•

•

■

 

 

 

п т ,

п'

Ялг,л'

 

ЯПП7л'

р

 

 

т пп,л'

171ПП,п

 

771пп,п'

 

 

~ У ~^гпп, п' ^ г г , п 1 • '

■

ГПпп,п'( ^

‘

(6.31)

Штрицы И и И ' ,

как следует из (6.29), отличаются по­

стоянным сомножителем.

Следовательно,

будут отличаться по­

стоянным сомножителем коэффициенты соответствующих им характе­ ристических уравнений, йлле для матрицы И характеристическое уравнение (6.12) записано в виде, соответствующем второй фор­ ме записи уравнений систем, и поэтому коэффициенты характери­

стических уравнений, соответствующие матрицам И и И \

будут

равны. Имея в виду это обстоятельство, условно примем

 

И = Й 1.

(6.32)

Алгоритм вычисления коэффициентов правых частей

 

уравнений

 

Наиболее целесообразные приемы вычисления коэффициентов

правых частей уравнений следует искать на пути использования процедур, которые описаны выше применительно к определению

коэффициентов левых частей уравнений. Однако на этом пути в общем случае возникают трудности.

Исходные матрицы для определения коэффициентов правых час­

тей уравнений получаются из матрицы характеристического уравне­ ния (6.2) заменой каждый раз одного столбца, соответствунцего координате, для которой определяется правая часть, слагаемыми,

соответствующими возмущению, для которого ищутся коэффициенты

правой части.

 

Так, например,

при отыскании правой части для координаты

и возмущения

f-, в матрице (6.2) должен быть заменен вто­

рой столбец слагаемыми, соответствующими рассматриваемому воз­ мущению f . В итоге получается исходная матрица

356

а п ~ Р

 

\ г

°/з

• •

•

< * , „

а 21

 

Ъ г г

а г з

■

•

а щ

и =

«

•

• •

 

 

-

 

О щ

 

^ п г

°/73

* •

•

O n n - P

В дальнейшем будем,как это сделано в (6.33),элементам Ь

после ах записи в матрицы типа

(6.33) присваивать вторые ин­

дексы в соответствии с номером столбца,

который они заменяют

в матрице (6.2).

 

 

 

 

 

 

При применении изложенного выше правила составления матриц правых частей оказывается, что полученные матрицы принципиаль­

но отличаются от матрицы

(6.2).

Отличие состоит в том, что для

матриц правых частей Й

один из диагональных элементов не име­

ет слагаемого р , как в

(6.33),

и поэтому эти матрицы не яв­

ляются каноническими и не могут быть представлены в виде раз­

ности с единичной матрицей, как (6.3). По. этой причине к мат­ рицам типа (6.33) сразу не применимы приемы оцределения коэф­ фициентов, которые выше изложены для характеристических урав­ нений (левых частей).

Для использования этих приемов необходимы преобразования исходных штриц Й в исходные канонические матрицы,в которых

все диагональные элементы имеют слагаемые -/? . После этого уже можно делать переход к рабочей матрице и применять проце­ дуры (6.5). Исходные канонические матрицы для правых частей

будем обозначать Ипр в отличие от исходных матриц для левых

частей, которые обозначаются И При преобразовании исходной матрицы коэффициентов в исход­

ную каноническую матрицу могут встретиться два случая. При из­ ложении этих случаев будем предполагать, что исходная матрица для правой части получается заменой в матрице (6.2) j -го столбца слагаемыми для возмущения (правая часть для уравнения по координате xj. ),

Первый случай преобразования исходной матрицы коэффициен­ тов Й в исходную каноническую матрицу Ипр имеет место при

.условии

4

0.

,

(6.34)

Элемент (6.34) является диагональным и входит

в столбец, кото­

рый получается после замены j

-го столбца в

матрице

(6.2).

357

Это конкретно видно по матрице (6.33), которая получается за­ меной в матрице (6.2) второго столбца.

Второй случай рассматриваемого преобразования исходной мат­ рицы получается, когда указанный здесь элемент оказывается рав­

ным нулю, т.е. при условии

 

 

Ъ::

= 0 .

 

(6.35)

 

 

<з<г

 

 

 

второй же

Первый случай является сравнительно простым,

требует специальной процедуры для перехода or И

к матрице ИПр.

Рассмотрим оба случая.

 

 

 

 

П е р в ы й

с л у ч а й . Исходная матрица коэффициентов

для данного случая в общем варианте записывается

 

 

а , Г Р

£7,г •

• ъц • •

a ,n

 

*5:1 I

а г1

a zz~P • •

■ b2 - . ,

, a Zn

(6.36)

 

 

а*,>

ah z

• •. • Ъ ’К * .*

ai * .

 

 

a n !

 

•

• bnj . .

VnnP

Для перехода к исходной канонической матрице необходимо сде­ лать равными нулю все элементы J -го столбца матрицы (6.36), кроме диагонального элемента. С этой целью сделаем равным нулю элемент к -й строки рассматриваемого столбца (вычтем из этой

строки j ~ю строку после ее умножения на buj и деления на b jj ). Такие же операции проделаем для всех других строк, кроме са­

мой J -й строки.

Такие операции можно не выполнять также для

тех строк,

у которых элементы

J- -го столбца равны нулю. В ре-

зультате в_общем случае получим:

 

 

-

~

khL

г.

„ „ °ч

 

• 0.

 

 

 

 

 

 

 

j y

 

 

 

 

 

"

 

a* r %

J 1.

 

 

 

. 0.

. ■azn a •Ъ -

й=

 

 

 

 

 

 

(6.37)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

° j z

• • •

V

• • ajn

»

*

(

^

 

 

 

 

bni a n r ° p - f .

%

Матрицу (6.37)

5/y

'^nn П.

Ьпл

a m - a i z J 7 . ‘ • . 0 . .

bj:

u<w

 

 

иначе записываем

 

 

И

Ипр *

(6.38)

358

В (6.38) обрзначено

Ъ ц

6 ft

 

b j i

a , 1 ~ a i , 7 h ; ~ P

 

 

а

a * a* z %

' "

a ’ n ~ a t %

b

- i i

 

 

(6.39)

V

| - p

° W

При переходе от (6.37) к (6.39) в матрице (6.37) исключа­ ются j -я строка я J -й столбец.

Матрица (6.39) является канонической, так как все ее диаго­

нальные элементы имеют слагаемые - р .

Следовательно, эта мат­

рица может быть записана аналогично матрице (6.3). С учетом

(6.38) имеем

Г/

л-1

 

 

\

 

 

 

п-г

 

(6.40)

 

 

\ Р

Я ), п р Р

 

Ч,п-1, п Р / '

 

 

 

 

В записи (6.40)

учтено также, что порядок матрицы (6.39) на

единицу меньше порядка матрицы (6.2).

Введенные для коэффици­

ентов^,^;

п

 

вторые индексы означают,

что

эти коэффици­

енты соответствуют правым частям уравнений.

 

 

Если матрица (6.39) является канонической,

то коэффициен-

ты <h7„p', cjz

п

^„^моцут быть 0ДРеделены по приемам, которые

изложены выше для определения коэффициентов^;

т.е.

можно применить процедуры (6.5)

с учетом, конечно,

уменьшения

на единицу числа этих коэффициентов.

 

 

 

Полином (6.40) соответствует полиному правой части уравне­

ния (2.63).

Равенство

этих полиномов будет иметь место, если

в (6.40) опустить сомножитель (-1)п

так,как это было сделано

при переходе от (6.3) к (6.7). Следовательно, вместо (6.40)

для полинома правой части записываем

 

 

 

* М -

 

 

 

* > .

. <«•«>

Сравнивая (6.41)

и (2.63), имеем для коэффициентов правых час­

тей:

 

 

 

 

 

 

 

Во

ВГ

Пр ’ ' ■

; V r - ( j K r l t e

Смотрите также файлы