Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 123

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

350

все элементы являются нулевыми, кроме диагональных, которые

равны между собой. Однако выравнивание значений диагональных элементов является характерным не только для матрицы Рп , но и для нескольких предыдущих матриц P-L . Это выражается в том,

что для этих матриц два или несколько диагональных элементов имеют близкие значения, мало отличающиеся при этом' от значе­

ний следа данной матрицы Р- . Тогда при вычитании из диаго­ нальных элементов соответствующей матрицы Р£- величины ^ (при определении матрицы C-L ) значения диагональных элементов за­ писываются с ошибками из-за ограниченности разрядной сетки.

При выполнении последующих процедур появившиеся ошибки усугуб­ ляются последующими так, что последние коэффициенты определя­ ются с большими, принципиальными ошибками и даже могут иметь

знак, противоположный действительному.

Для устранения изложенного недостатка в работе предлагает­ ся использовать двойное применение процедур Д.К.Фаддеева. При первом применении этих процедур определяются почти все первые

коэффициенты, соответствующие ряду

А , ; А г ;

А 3 ; . . .

5 А п . & .

(6.9)

Число д должно быть заранее

задано.

Можно рекомендовать для

систем восьмого-десятого порядков принимать его равнымД= 3 и увеличивать для систем более высоких порядков по мере роста п .

При втором применении процедур Д.К.Фаддеева определяются

последние коэффициенты характеристического уравнения, соответ­ ствующие ряду

А П-Д+1 7 Ап-д +г ’ •*■ » ^ п

(6 .10)

При определении коэффициентов ряда (6.9)

процедуры Д.К.Фад­

деева применяются к матрице (6.4), соответствующей (6.2). Осо­ бенность их применения здесь заключается в том, что количество строк в (6.5) равно величине п - А в отличие от обычного случая, когда число строк равно п

При определении коэффициентов ряда (6.10) процедуры Д.К.Фад­

деева должны применяться к матрице, которая также получается из (6.2), но с учетом следующих положений.

Осуществим в характеристическом уравнении, соответствующем

(2.63), замену

Тогда получим характеристическое уравнение

351

 

 

~рп+ А1р п' \ А. : р п' г+ 1 + л я _, Я +

= о ,

( 6 . 1 2

коэффициента которого связаны о коэффициентами уравнения (2.63)

соотношениями

г

_ A j _ .

] _

(6.13)

’ А ”~’

Л„ ’

Ап

 

Уравнению (6.12) соответствует матрица коэффициентов, ко­ торая записывается по системе уравнений (6.1) после замены (6 .II). Указанная матрица, которую обозначим R , имеет вид

[ср.с (6.2 2

а п Р - 1

а 1гр . . . < w

 

а г1р

аг г р - 1 . . . а г п Р

(6.14)

 

 

 

 

<*тР

а т Р * • • а п п Р

Матрицу (6.14) необходимо привести к каноническому виду,

В итоге получим матрицу И

. На процедурах перехода от матри­

цы R к И остановимся позже.

Матрица

И

имеет вид

 

 

 

Л-

 

s , r P

O n • • • a ln

 

V,

a z z ~ P ' * • a 2 n

 

a Z1

(6.15)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

a m •

'

'■ ч.

/-Ч.

о т

• O n n ' P

Второе применение процедур Д.К.Фаддеева,

о котором излага­

лось выше, относится к определению коэффициентов уравнения

(6.12) по матрице (6.15). Очевидно,

что первые коэффициенты

этого уравнения будут определяться без тех принципиальных оши­

бок, которые характерны для процедур вычисления последних коэф­ фициентов, аналогично тому как это имеет место при вычислении коэффициентов уравнения (2.63) по матрице (6.2).

По соотношениям (6.13) для первых коэффициентов уравнения (6.12) могут быть вычислены последние коэффициента уравнения

(2.63), т.е. коэффициенты ряда (6.10).

Сначала целесообразно воспользоваться соотношением

(6.16)

352

для определения коэффициента Ап . Имеем

А

=

~

(6.17)

пА д

Затем остальные коэффициенты ряда (6.10) долины вычисляться по формулам

к П-& + 1

г

Ал-t » Ал- д+2“ •>

лд

 

 

я д

Таким образом оказываются вычисленными все коэффициенты уравнения (2.63). Для проверки точности вычислений целесооб­ разно определить второе значение коэффициента Ап , которые

обозначим а 'п, по формуле

Л

,

(6.19)

*Ад_,

которая получается аналогично (6.17). Сравнение значений А п и А'„(см. (6.17) и (6.19)3 и может использоваться для проверки точности вычислений.

Осталось в процедурах определения коэффициентов характери­ стического уравнения рассмотреть воцрос о переходе от матрицы

R (6.14) к матрице

И (6.15).

 

Представим матрицу

(6.14) суммой

 

 

И - М + N ,

(6.20)

где

 

 

 

-V

 

 

 

° „ Р

а п р . . . а т Р

 

И =

a zt

р

а г г

р . . .

а г г р

(6.21)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

_

~

 

 

•V

 

а т Р

а т Р • • • а п п Р

 

 

- 1

 

0

. . .

0

 

N =

0

 

-1

. . .

0

(6.22)

 

0

 

0

 

-/

 

Будем в матрице (6.21) осуществлять эквивалентные преобразова­ ния таким образом, чтобы все элементы этой матрицы, кроме диа­ гональных, стали равными нулю. Сначала целесообразно сделать

равными нулю все элементы первой строки, кроме первого элемен­ та а„ . В дальнейшем будем считать, что элемент а п не равен

353

нулю. Вали это условие не выполняется, то в первой строке отыс­ кивается не равный нулю элемент и элементы первого столбца сум­ мируются с элементами столбца, где стоит этот не равный нулю элемент. Затем из элементов всех столбцов, 1фоме первого, вы­

читаем элементы первого столбца, предварительно умноженные на отношение

ч,

а h<ji

(6.23)

4,1

 

 

 

Здесь через J обозначен номер текущего столбца. В итоге полу­ чаем матрицу

m n,iP

0

0 . . . 0

 

Р

 

Щ г , i P- •

•ГП2 п,1 Р

(6.24)

" г

 

 

 

тзг,тР

m33,iP • ••тЗп,,Р

 

т 31,1 Р

 

т п ,,,Р

m m , i P

тпз,,Р '

■■т пп,,Р

 

Затем, поступая аналогичным образом и оперируя уже строка­ ми, делаем равными нулю все элементы первого столбца, кроме первого элемента. Получаем матрицу

т 11,1'Р

0

0

. . .

0

0

171г г , 1’Р

^ г з ^ ' Р

* • •

т 2 п , 1' Р

0

т32,1'Р

тзэ,}'Р

' •

т Зп ,1' Р

0

т пг ,1<Р

т п з , 1' Р •• '

funn,i'P

 

После этого описанные процедуры осуществляются последовательно в отношении всех остальных строк и столбцов, т.е . затем приме­ няются эти процедуры в отношении второй строки и второго столб­ ца, третьей строки и третьего столбца и т.д.

В итоге получается матрица

 

т п , п ' Р

0

0

. . . 0

I

0

т 22,п' Р

0

. .

. 0

Мп

0

0

т з з , п ' Р -

■ . 0

 

0

0

о . . ■ т пп,п'Р

Смотрите также файлы