Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 114

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

369

где

Ot = -

l a n-i: -2

 

 

 

(6.69)

CO =

a n-i i

1

а » - ч - ’

rf

— ---

 

a

 

a

 

n~ r l

 

n- Lr *

Тогда для постоянных Ct

и Сг \&2\,

используя для числителя и

знаменателя функции (4.139) соответственно обозначения R ip ) и Qj(p) имеем

 

 

 

 

w i i p , )

 

(6.70)

 

 

 

 

Pj (P z)

 

 

Цодставляя (6.62),

 

 

PzQUPz)

 

(6.6ь) и (6.70) в зависимость (6.67), по­

лучаем

 

 

 

 

 

 

х Вых,

'т-к1

+

Pj(P,)

e P,t+

Pi (Рг) е Рг t

(6.71)

Р,«Ш

РгЦ(Рг)

 

Cl

 

Представляя постоянные

(6.70)

в виде

 

 

С, = Re

Pj (Pi)

P j(p ,)

P,Qj(P,).

P ^ J ( P r ) J

и

 

Р^(Рг)

Сг = Re

~ Ri(Pz)

M j ( P z )

 

 

 

учитывая, что

г* A

 

 

 

Re

Pj (Pz)

CpJ

 

= Re

 

J>2 Q[(Pz).

f i W P , ) .

Dm Г P i ( P z ) 1 = - Dm

и делая подстановку

e ~ * Mt = co s оo t ± J si-п сo t ,

(6.72)

(6.73)

(6.74)

(6.75)

(6.76)

370

вместо

(6.71)

записываем

 

 

 

 

 

 

 

х

b*n~ii

+

_ °*ij

) R e

 

 

C O S i O t - D m

sincotf.(6.77)

 

 

*

2 е

 

 

 

Bblx’i

an- i a

 

 

 

LMj(Pr).

 

 

щ

т

 

 

Введем обозначения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B = Re М Ы

 

и

C = 3m

 

( 6 . 7 8 )

 

 

 

 

 

P ^ M r )

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

в ы х Лt

Ьm~ i.

+ 2 e° l t [ i 7 c o s c o i - -

C s i n c o t ] .

( 6 . 7

 

an- i;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для представления выражений В

а

С (6.78) через коэффи­

 

циенты исходной передаточной функции обратимся к (4.139).

 

Дифференцируя Qjifi),

имеем:

 

 

 

 

 

 

 

P j ( f })

_

Ьт - 1 ^ - 2 р

+ (b / n -ij-1 ) Р + Ь т - ij.

 

 

 

рг $

W

 

~

Р ; ( 2 a n~ir

г Р, + a n - i- - ; )

 

 

 

Подставляя

[см. (6.68 )J

и преобразуя, записываем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f y ( P t )

 

 

M + J N

 

(6.80)

 

 

 

 

 

 

 

PjQj(Pj)

 

M l+j P '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

Rj. (Pj)

(ММ'+ N N 'jijiN M 1- MN')

 

 

 

 

 

 

(6.81)

 

 

 

p

 

, W

 

 

 

 

t l ' 2 +

N'z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражения для

M ,

Pi' ,

И

и

N1 представлены ниже.

 

 

Сравнивая (6.78)

и (6.81),

получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В -

М М ' +

N N 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

5------ 5

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

М ' + И'

 

 

(6.82)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С =

n m ' - m n '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м ,г+ N1

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М = Ьт - 1 - -

г

 

f

 

 

 

<Г

о

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

N = 2 6 m -ij-г d c o + b ^ ^ ^ c o ;

\

(6.83)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

2 a n - Z ~ i j ^

2 a n - Z - i + a n - i j - l 01 ’

 

 

 

N , -

lt

a

n . i

 

+

a

n _ L

 

cxJ.

 

 

 

<r

<f

.

371

Запишем также выражение для производной выходной коорди­

наты. Из (6.79)

^вь/х,^ ~ 2е°*4 £(Z7oiCcojcos to£-(Cd+J?co)slncoi]. (6.84)

Для оценки качества процессов по колебательным составляю­ щим необходимо знать максимальные значения выходных координат

и максимальные скорости их изменения. Очевидно, что для опре­

деления максимального значения координаты необходимо^найти

значения этой' координаты в трех точках

t = 0 ;

t

- t■zэ.,

 

*

 

 

 

 

 

(ё-85)

и выбрать из них наибольшее. На рис.6.3

показаны примеры,ког­

да максимальные значения соответствуют одной из трех точек

(6.85).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно также,

что для определения максимальной скорости

изменения координаты х д

-необходимо найти значения этой ско­

рости для трех точек

/

-

.

 

.

 

 

_

‘

 

 

5Г

 

 

 

л

( 6 . 8 6 )

t - 0 •, t - t 3r!

2

'со

И

£ = £

 

_ . + - г - • г г •

^

^э,1 +

2

со

 

и выбрать из них наибольшее. На рис.6.4

показаны кривые,когда

указанные максимальные скорости соответствуют одной из трех

точек (6.86). Вводится также условие,

что для второй точки

цри

 

 

 

 

^ ~ ^Э,1

1 - ^ -

о

(6.87)

 

г сю

 

 

значение х Вь1Х ^ае определяется,

так как значение скорости в

этой точке не имеет Физического смысла.

Из описания излагаемых алгоритмов следует,что для определе­ ния искомых характеристик качества процессов необходимо предва­ рительно определять точки t=t3 , и t = t3Z.Для этого воспользуем­ ся материалами, имеющимися в [9J.

Введем в рассмотрение комплексную функцию

 

Ф ( t) = 2 е* t R* ( P i) j a t .

(6 .88)

W iW

Нетрудно видеть, что ф (f) цредставляет собой логарифмиче­

скую спираль, для которой угол поворота радиуса-вектора равен oot • Причем перемещения проекции точек этой спирали по веще­

ственной оси соответствуют процессу (6.79), точнее его пере-

372

менной части, а точки с вертикальными касательными соответст­ вуют точкам экстремумов процесса йсв&/х^(рис .6.5).

Для того чтобы показать, что перемещения проекции точек рассматриваемой спирали по вещественной оси соответствуют пе­ ременной части процесса (6.79), убедимся в том, что вещест­

венная часть (6.88) равна переменной части (6.79). Для этого достаточно сделать в (6.88) одну из подстановок (6.76), вос­ пользоваться (6.78) и провести преобразования.

Действительно, имеем

373

y{t) = te1* (D + jc)(cosu)t +<fsincot).

(6.89)

Выполняя перемножения, находим

ф(£) = 2е [(Pcoscot - Csin cot)+j- (Ccosoot-<-l)si.ncot)j. (6.90)

Таким образом, на самом деле вещественная часть (6.88) совпа­

дает с выражением для переменной части (6.79).

Из полученного результата вытекает как следствие, что точ­ ки с вертикальными касательными для кривой (6.88) соответству­

ют экстремумам процесса а'й •. Из рис.6.5 видно, что угол по­ ворота радиуса-вектора щжвои (6.88) до точек экстремумов, а

следовательно, и моменты t и t3 г зависят от положения началь­

374

ной точки кривой. В связи с этим рассматривается восемь слу­

чаев, которым соответствуют рис.6.6,а - 6.6,и.

При этом заметим, что достаточно найти соотношения для

времени t3 ? , тогда для точек t 9t2

выражения получаются из

условия, что углы поворота

для точек tatl

и ts z разли­

чаются на угол, равный 5t .

 

Для всех случаев, от­

вечающих рис.6.6а -

6.6,и,

углы поворота радиусов-век­

 

торов со £

, представлены

через углйб si3L (кроме слу­

чаев равенства нулю углов

 

c o t 31

).

В

составленной

таблице 6.1 получается во­

 

семь

строк.

Имеющиеся в

таблице соотношения и долж-

t 3jl я

t a г .

Однако предва­

рительно нужно определить выражение для угла

£

и внести яс­

ность в другие столбцы таблицы 6.1

(столбцы для d и с

).

I

• d= 0

c > 0 '

2

d -=0

c > 0

3

d< 0

c =0

4

d< 0

c< о

5

d = 0

c< 0

6

d> 0

c< 0

7

d > 0

c =0

8

d> 0

c > 0

 

 

 

Т а б л и ц а

6.1

<*■+» Co

II О

t

-

—

 

 

 

 

L3 ,Z

 

CO

 

 

_

31-e

,

25Г-8

t 3,1~

CO

гэ,г

 

со

t ■

 

= —

,

_

3Ji

3’’

 

Zoo

Ъз ,г~

со

 

 

 

 

j.

 

5T+B

^

 

= b -

г э , г ~

ш

 

 

 

 

t

— ~

 

 

 

 

ъэ , г ~

со

j.

 

_

5i-e

^

_

23i-S

гэ,1~

CO

t 3 , z ~

CO

t

i

=

51

i

=

35r

L 3,

 

2CO

L 3 ,Z

 

Zoo

t

 

= - A

.

_

5Г + 8

L3,,

 

CO

 

 

CO

Смотрите также файлы