Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

464

ГЛ. X.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ

И м е ем

s (а ) = 2 и« (х),

П

где п

= 2р

или 2р +

1

п ри н и м а ет

все

целые

значения.

Е сли

число

точек

х р

конечно, то

s

будет

ступе нча той

ф ун к ­

цией, и теорема очевидна.

П р е д п о л о ж и м

поэтом у,

что число

то ­

чек Хр счетно, и притом бесконечно.

К а ж д о й

ф ун кци и

и п

поставим

в

соответствие

н е п р е р ы в н у ю

во зр а ста ю щ ую

ф ун кц и ю

ѵ п

на

R , определенную

след ую щ им

об ­

разом :

ѵ п (х) =

и п (Ь),

если

х ^ х р,

ѵ п (х) —

0,

если

А" <1 Хр — г/2п,

ѵ п (х) л и н е й н а на [ хр — е/2” , х р]\

при этом п =

2 р или 2р

+

1.

Ф ун кц и я

т

фт =

2

Ѵп

п=О

непреры вна

и

возрастает.

Т а к

ка к

ѵп ^

0,

то

последователь­

ность

(ф,„)

возрастает.

А

та к

к а к

ѵ п ( х ) —

и п ( Ь ) ,

если

а

^

а

р ,

то (pm(b) ^

s ( Ь ) . З на ч и т,

последовательность

(<pm)

s(b)

возрастает,

м а ж о ри р ов ан а

констан той

и, стало

бы ть,

сход ится

для

л ю ­

бого

к некоторой предельной ф ун кц и и ср.

К а

ф ункция

ѵ п

диф ф еренцируем а

всю ду,

кроме

точек

Ар —

е /2"

и

п оэтом у

срт

диф ф еренцируем ы

всю ду,

кром е

к о ­

нечного

числа

точек, Э лем ентарны е

свойства инте гр ал о в

от

с т у ­

а

пен ча ты х илир;непреры вны х

ф ун кц и й

п озво л я ю т

записать,

что

ь

J

(0 dt — q>n(b) — Фп(а).

а

Н а ко н е ц ,

равенство

фт —

фт _ , =

ѵт дает:

£>фт —

Пфт _ , =

D o m >

О

(т а к

к а к

от

во зр а ста е т ); значит, последовательность

(£>ф?п)

воз­

растает.

Т а ки м

образом , м о ж н о

при м е н и ть

теорем у

2

и

записать,

что

£>Ф (а) =

Пф„ (а) =

с о

D v n (а).

«

/ г ~ > о о

r 2t = 0

lim

П у с ть

U U p — е/2га, Ар].

£ =

3. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

465

М ера м нож ества

Е

меньш е

s.

Е сл и

х

Е ,

то

D v n (х)

=

0

д ля

л ю б о го

п,

и зн ачи т,

если

х

ф

Е

(и

х

е

[а,

Ь] ),

то

0 ф (х )

=

0.

Е сл и X е

[а, 6], то s ( х ) ^

ср ( х ) , и если

х ^

£ ,

то

s (х) =

ф ( х ) .

С ледовательно,

для

п ра вы х

п р о и звод ны х

чисел

ф ункц ий

s

и

ф

при лю бом X

Е

имеем

0 <

А ds (х )

^

А^ф (х) =

0,

0

&ds (х) ^

б^ф (х) — 0.

Т а ки м

образом ,

на

[а,

Ь] —

Е

ф ун кц и я

s имеет п р о и звод ную

справа ,

р а в н ую

н ул ю ;

а

та к

к а к

мера

м нож ества

Е

меньш е,

чем

е,

то

5

имеет

почти

всю ду

п ро и звод ную

справа ,

р авн ую

н ул ю . Р а ссм а три вая

ф ун кц и ю

х — *■ —

s ( —

х ) ,

находим ,

что

5

имеет

почти

всю д у

п ро и звод ную

слева,

р а в н ую

н ул ю .

С тал о

бы ть, s имеет почти

всю ду

п р о и звод ную , р а вн ую

нулю .

3. Производная функции ограниченной вариации. Если

f

—

ф ункция о гра ни чен н ой

ва ри а ц и и ,

то она

представим а

в виде р а з ­

ности д в ух

м о но тон ны х

ф ункций . Е сл и

f —

во зра стаю щ а я

ф ун к ­

ц ия,

то

она представим а

в виде,

сум м ы

непреры вной

во зр а ста ю ­

щ ей ф ункции и ф ун кц и и скачков .

О тсю д а в си л у теорем 2 и 3 получаем теорем у.

Т е о р е м а 4 ( Л е б е г ) .

Л ю б а я ф у н к ц и я о г р а н и ч е н н о й в а ­

р и а ц и и д и ф ф е р е н ц и р у е м а

почти

в с ю д у ,

и

ее п р о и з в о д н а я

инте­

г р и р у е м а .

О тм етим ,

что

п о ско л ь ку

ф ун кц и я

о гра ни чен н ой

ва ри а ц и и

за ­

писы вается

в виде

/

=

g

4-

s,

где

g — непреры вная

ф ун кци я

о г ­

раниченной ва ри а ц и и ,

a s

—

ф ун кц и я ска чко в ,

то

D f

=

D g .

П ,

В .

Е сли

f

возрастает,

то

D f

ин те гр и руе м а ,

та к

к а к

D g

и н те гр и ­

руем а,

и

ь

j D f ( t ) d t < g ( b ) — g { a ) ^ f ( b ) — f ( a ) .

а

4. Дифференцирование последовательности или ряда возра­

стающих функций.

И з

теорем ы

2

вы текает

предлож ение ,

к о то ­

рое является п р и зн ако м

п очленного

диф ф еренцирования

после ­

д овательности н е п р е р ы в н ы х

в о зр а ста ю щ и х

ф ункций

на

[а, Ь].

П р и в о д и м а я

н и ж е

теорем а

касается

во зр а ста ю щ и х

ф ункций ,' не

обязательно непреры вны х.

Т е о р е м а 5 ( Ф у б и н и ) .

П у с т ь fE iU k — p n d в о з р а ст а ю щ и х

ч и с л о в ы х ф у н к ц и й

Uk,

с х о д я щ и й с я

д л я л ю б о г о

х е

[а ,

&].

Ф у н к ­

ц и я

f ,

о п р е д е л е н н а я

к а к

f ( * )

=

2

«&(*)>

д и ф ф е р е н ц и р у е м а

почти

в с ю д у ,

и

D f (х) =

в.

2 D u k (х).

Я‘

пределу,

м еньш ем у или

р авном у

D f ( x ) . Т аки м

образом ,

П

D f n U ) = 2 D u k (ж)

о

сход ится почти всю ду.

П у с т ь теперь д ля

л ю б о го

целого

k целое

вы б рано т а к

к а к ,

что

f { b ) - f n k { b ) < \ l 2 k.

Т а к

к а к

/

— f„ ft — во зр а ста ю щ а я ф ун кц и я ,

то

тем

более

H x ) - f n k ( x ) < 1/ 2*.

С ледовательно,

2к) ( / М

— fnk (*))

сход ится

д ля л ю б о го

X,

и

преды дущ ее исследование,

п р и м е н ен '

ное к р я д у с членам и м*

=

/

—

/п А, д о казы ва ет,

что

D f (х) — D f „ k {х)

стрем ится к н ул ю , и значит,

lim

D f n А х ) =

в*

D f ( x ) .

ft->0О

П'

Н о

D f n (x)

схо д и тся

почти

всю д у ;

стало

бы ть,

предел

почти

всю д у буд ет равен D f ( x ) .

X

§ 4.

Изучение |

f ( t ) d t ,

где f

интегрируема

а

П у с ть / — и н те гр и р уе м а я ф ун кц и я на [ а, Ь] и F — ф ун к ц и я ,

определенная к а к

а

Х о р о ш о

известно, что

если

/

непреры вна ,

то

D F ( x ) =

f ( x )

для

л ю б о го X.

Е сли ж е /

не

буд ет

непреры вна ,

то

это

свойство

у ж е

неверно

(на пр и м е р ,

в

случае

ступе нча той

ф у н к ц и и ).

М ы

д о к а ­

ж ем , что если / и н те гр и руе м а ,

то