Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

и означают, что z, будучи положительным, служит мажорантой

л; + у = sup (х, у) + inf (х, у)

вытекает, что

х+ х~ — sup (х+, х~),

изначит, z ^ x + -\-х~. Таким образом, для любой мажоранты 2

Ясно, что для любого конечного числа элементов из G

откуда и получаем требуемое.

10) sup и inf конечного подмножества группы Рисса.

и следовательно,

sup(x, у) = у + (х — у)+.

Точно так же, исходя из sup (х — х, у — х), получаем

sup (х, у) = X + (у — х)+.

Если записать x - f x = 2x для любого х, то сложение дает

2 sup (х, у) = X + у + (х — у)+ + (у — х)+.

Но х+ = (— х)~, а значит, {у ~ х)+= (х — у)~, и

2 sup (х, у) = X + у + (х — у)++ (х — у)~,

или

2 sup (х, у) = X + у + I X — у \.

Точно так же,

2inf(x, у) = х + у — |х — у\.

52 ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ

Р А З Д Е Л 3

СИММЕТРИЗАЦИЯ МНОЖЕСТВА, НАДЕЛЕННОГО АССОЦИАТИВНЫМ И КОММУТАТИВНЫМ ЗАКОНОМ. ПОЛЕ ЧАСТНЫХ КОЛЬЦА БЕЗ ДЕЛИТЕЛЕЙ НУЛЯ

Множество натуральных чисел со сложением есть множе­ ство, наделенное ассоциативным и коммутативным законом. По этому множеству строится множество всех целых чисел (по­ ложительных, отрицательных и нуля; они называются целыми рациональными), так, чтобы новое множество «содержало» исходное и чтобы оставался справедливым (надлежащим обра­ зом определенный) закон сложения, относительно которого в новом множестве всякий элемент должен обладать симмет­ ричным.

Иными словами, эта конструкция предназначена «сделать вычитание всегда возможным» (смысл будет уточнен ниже).

Если рассмотреть снова множество натуральных чисел, но наделенное на сей раз мультипликативным законом, то, исходя из этого множества, можно построить множество положитель­ ных рациональных чисел так, чтобы новое множество снова было наделено мультипликативным законом, при котором вся­ кий элемент обладает симметричным. «Делается всегда воз­ можным деление».

Идея в обоих случаях одна и та же и построение, как мы увидим, тоже отличается лишь обозначениями: берется мно­ жество Е, наделенное одним ассоциативным и коммутативным внутренним законом (сложение и умножение в предыдущих примерах) и на его основе строится множество S так, чтобы оно было наделено коммутативным групповым законом, при ко­ тором Е могло бы быть (некоторым способом) идентифициро­ вано с некоторым подмножеством &' множества &, причем ис­ ходный закон на Е должен совпадать с законом, индуцирован­ ным на S ' вновь введенным законом на S . Множество S назы­ вается симметризованным из Е для первоначально заданного закона. Это название подчеркивает интуитивную идею «расши­ рения» множества Е для получения симметричных элементов.

С другой стороны, рассмотрим множество всех целых рацио­ нальных чисел, наделенное законом сложения и законом умно­ жения, превращающими его в кольцо. На основе этого множе­ ства строится множество рациональных чисел, наделенное как законом сложения, так и законом умножения, причем новое множество «содержит» исходное множество, оба закона которого остаются справедливыми, но таким образом, чтобы новое мно­ жество было телом (полем). Идея заключается, следовательно, в построении тела (поля), исходя из кольца. Итак, можно сфор­ мулировать две задачи.

1)Множество, наделенное ассоциативным и коммутативным законом, превратить в группу.

2)Кольцо превратить в тело (поле).

Изложим теперь идею метода, позволяющего решить обе эти задачи.

Если рассматривать множество всех целых рациональных чисел, где уже «вычитание» всегда возможно, то в нем из двух чисел Х\ и у\ можно образовать разность Х\— у\. Однако это число может быть получено бесконечно многими способами как

Если теперь рассмотреть множество строго положительных рациональных чисел, где теперь уже всегда возможно «деление»,

54 ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ

Хі Т У2= х2Т у х.

Это и будет то отношение эквивалентности, которое мы введем на произведении Е у Е исходного множества Е.

Впоследующем изложении мы начнем с натуральных чисел,

азатем сформулируем общие теоремы.

§1. Первая задача. Симметризованное множество

Пусть N есть множество натуральных чисел, на котором определен аддитивный закон. Этот закон ассоциативен, комму­ тативен и любой элемент из N регулярен относительно этого за­

отношение 91 рефлексивно. Оно симметрично, т. е., если оно свя­

(Хі + у2) + (х2+ Уз) = (х2+ Уі) + (х3+ у2).

А так как закон ассоциативен и коммутативен, то это равен­ ство записывается в виде

(*і + Уз) + (У2 + х2) = (х3+ у,) -f (у2+ х2).

Но любой элемент регулярен, и поэтому равенство можно упро­ стить, отбросив (у2+ х2) ; тогда

(х,у) отношением '3?:

X + у' = х' -)- у.