Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 136
Скачиваний: 0
46 |
ГЛ. П. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ |
|
т. е. |
(х— х ' ) у ^ І . Таким |
образом, мы пришли к предположе |
нию, |
что для любых а е / |
и b е А всегда ab е /. |
Определение. Идеалом коммутативного кольца А называется такая его аддитивная подгруппа I, что для любых а е I и b е А всегда ab е /.
Следовательно, для любого отношения эквивалентности на А, согласующегося с законами кольца А, существует такой идеал
/, что х91х' $=}х — х' е /.
Обратно, если / есть идеал, то отношение 91 вида
х91х'4=$х — х' е /
есть отношение эквивалентности на множестве А и согласуется
со структурой |
абелевой группы |
кольца |
А (§ 4). А так |
как /— |
|
к тому же идеал, то |
|
|
|
|
|
X— х' е |
/ =Ф хг/ — х'у е |
/, |
у — у' е |
1=#> х'г/ — лг'г/' е |
/, |
и значит, |
лп/ — х'у + х'г/ — х'у' е= /, |
|
|||
т. е. |
|
||||
ху — х'у' е |
/ |
или ху91х'у'. |
|
||
|
|
||||
Фактор коммутативного кольца А по отношению 91 обозна чается А/І. Легко видеть, что этот фактор снова является ком мутативным кольцом, а именно, имеет место
Те о р е ма . Всякое отношение эквивалентности 91 на комму тативном кольце А, согласующееся с законами кольца А, опре
деляется как |
X — х ' ^ І , где I есть идеал кольца А. Фактор |
кольца А по I |
есть коммутативное кольцо. |
§ 6. Упорядоченные группы. Группы Рисса
Как и в предыдущих параграфах, где мы вводили одновре менно один или несколько алгебраических законов и отношение эквивалентности, мы будем изучать множества, в которых опре делены одновременно алгебраические законы и порядок. Вво димые здесь понятия являются весьма важными и иллюстри руются в дальнейшем множествами числовых функций, инте грированием н т. д. Группы будут записываться аддитивно, а отношение порядка будет обозначаться символом ^ или
1. Определение. Упорядоченной группой называется множе ство G, наделенное структурой абелевой группы, а также струк турой порядка, и удовлетворяющее следующему условию:
для любого z ^ G отношение х <g; у влечет х + 2 ^ у + г.
Это определение иллюстрируется примерами аддитивных групп — группы Z целых чисел, группы Q рациональных чисел, группы R действительных чисел.
2. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ТЕЛА |
47 |
З а м е ч а н и я . 1) В определении упорядоченной |
группы |
прежде всего предполагается, что группа абелева, или коммута
тивная. |
Свойство X < г/ =фх + 2 ^ у + г иногда выражается как |
2) |
свойство порядка быть инвариантным относительно любого пе реноса (сдвига).
Положительные элементы. Положительным элементом в упо рядоченной группе называется любой элемент х этой группы,
удовлетворяющий условию 0 ^ |
х. |
G — упорядоченная |
группа |
|
2. |
Простейшие свойства. |
Пусть |
||
и 0 — ее нейтральный элемент. |
|
|
|
|
1) |
Допустим, что для некоторой пары x ,y ^ G при некотором |
|||
г е й |
выполняется неравенство х -f- 2 |
sg у -f- г. Прибавив |
к |
|
обеим его частям (—г), получим х ^ у . |
Таким образом, в упо |
|||
рядоченной группе |
|
|
|
|
x s ^ y ^ x + z ^ y + z.
2) Покажем, что
|
X |
у ФФ 0 5 ^ у |
— х ФФ х — г /^ О Ф Ф — г/ |
— х. |
|
|||||||
Эти свойства вытекают из предыдущего. |
Действительно, |
если |
||||||||||
X < у, |
то х |
|
х < г/ — х |
или |
0 < ;/ — X |
и |
X — у ^ у —у = 0; |
|||||
далее, О ^ у |
— х =Ф — у |
|
— у - f у — х = — х. |
Обратное доказы |
||||||||
вается тем же способом. |
|
|
|
|
G выполняются |
нера |
||||||
3) Допустим, что для элементов из |
||||||||||||
венства |
х ^ х |
' |
и у ^ у ' |
. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
* sSSx/ =#x + |
J/s^x' + |
z/ = |
t/ + |
x/ |
|
|
|||
|
У< У' =#■ У + |
х' < |
у' 4- х' = |
х' + у'. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно, |
х < іх ' |
и у <1 у' |
=Ф х + у ^ |
х' + у'. |
|
|
||||||
Легко доказать по индукции, что если для п пар элементов |
||||||||||||
из G, скажем, х,- и г/, |
(і — 1, |
2, |
п), |
при любом і выпол |
||||||||
няются |
неравенства |
хг |
|
уи |
то |
хл + |
. . . + |
хп |
у х . . |
-f у п |
||
(сложение неравенств). Обратное неверно. |
|
|
|
|||||||||
4) Если G' есть подгруппа группы G, то отношение порядка, индуцированное на G' из G, превращает G' в упорядоченную подгруппу.
3. Верхние и нижние грани. Понятия верхней и нижней гра ней вводятся для упорядоченного множества. Операции sup и inf коммутативны и ассоциативны. Будучи введены в упорядо ченной группе G, эти операции обладают следующими свой ствами:
1) Пусть Хі есть семейство элементов из G, определенное при помощи множества индексов I. Предположим, что существует
48 |
ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ |
верхняя грань sup (х , ) элементов x«. Это означает, что суще ствует наименьшая мажоранта среди всех мажорант а подмно жества из G, состоящего из Хі. Н о
х<г/ Ф^х + 2 < г / + 2.
Следовательно,
|
SUp (z + Хі) = |
2 + SUp (Хі). |
|
|
|||
2) |
Если элементу |
r e G |
|
поставить в соответствие —х, то |
|||
на G будет определен противоположный порядок ^ |
и |
|
|||||
|
inf (— ATf) = |
— SUp {Хі). |
|
|
|
||
4. |
Группы Рисса. |
Это |
специальные |
упорядоченные |
группы, |
||
важность |
которых очевидна |
в |
связи с |
ролью, |
которую |
они |
|
играют в теории интегрирования.
Определения. 1) Группой Рисса называется упорядоченная группа G, которая вместе с элементами х е G и у е G содержит
s u p (х, у) и in f(x , у).
2) Положительной (соответственно отрицательной) частью
элемента r e G |
называется и обозначается х+ (соответственно |
||||
х~) элемент sup(x, 0) |
(соответственно sup(—х, 0)). |
||||
3) Абсолютным значением элемента х, называется и обозна |
|||||
чается |
| х | , элемент su p (x , |
—х). |
|
||
Отметим, что х+, х~, |
\х\ |
являются неотрицательными элемен |
|||
тами и I —х\ — |
| х | . |
|
|
|
|
Пр и м е р ы . |
1) Упорядоченная аддитивная абелева группа |
||||
действительных чисел есть группа Рисса. |
что множество чис |
||||
2) |
Забегая вперед (ср. гл. VI), укажем, |
||||
ловых |
функций, |
определенных на заданном |
множестве, есть |
||
группа Рисса; будет показано также, что множество непрерыв ных функций с числовыми значениями, например, на некотором интервале числовой прямой, есть группа Рисса. Напротив, мно жество действительных многочленов от одного действительного переменного не является группой Рисса, ибо если х и у — много члены, то sup(x, у), вообще говоря, может не существовать.
Св о йс т в а . 1) Пусть z — произвольный элемент из |
G. Так |
|||
как |
|
|
|
|
s u p (х + 2, у + Z) = 2 |
+ s u p (х, у) И SUp (— X, — у) = — inf ( х , у) |
|||
ТО |
sup (z — X, z — у) = |
z + sup (— X, —- y) — z — inf (x, y). |
||
|
||||
Если |
взять 2 = х + |
г/, то |
|
|
|
X + |
У= |
SUp (х, у) + inf (х, у). |
|
2) |
В силу 1) имеем х~ = (— х)+ = — inf (х, 0) и х = |
sup (х, 0)-f- |
||
-f- inf (х, 0). Отсюда |
|
X — х+ — х~. |
|
|
|
|
|
|
|
2. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ТЕЛА |
49 |
Элементы х+ и х~ являются положительными элементами, по скольку sup (jc, г/) будет и ^ г / для любых х, у и, в частно сти, sup(x, 0) ^ 0.
Таким образом, всякий элемент группы Рисса записывается
в виде разности двух положительных элементов. |
|
||||
3) |
Имеем inf {х+, х~) = 0. |
Действительно, |
пусть пг — мино |
||
ранта |
элементов х+ |
и х~, |
т. е. пг ^ х+ и |
пг^.х~ . |
Но из |
х = х+— х~ следует |
х~ = х+— х; значит, из |
п г ^ х ~ = |
х+— х |
||
следует х ^ х + — т. В то же время т ^ х +, значит, х+— т ^ О .
А так как |
л :^ |
л:' =#>sup (л:, г/) ^ sup (лт', г/), и так как |
для |
х ^ О |
||||||||
имеем sup(x, 0) = |
л:, |
то |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
X |
х +— т =# sup (х, 0) ^ |
sup (х +— пг, 0), |
|
|
|
|||||
т. е. х+^ |
х+— т, |
а |
значит, т ^ О . |
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, все миноранты пары (х+, х~) неположительны. |
||||||||||||
Но х+^ 0, |
х ~ ^ 0 , |
и стало быть, наибольшая миноранта, т. е. |
||||||||||
inf (х+, Х-), |
равна |
нулю. |
|
некоторый элемент |
х е |
G |
||||||
4) Обратно, предположим, что |
||||||||||||
записывается в виде х = g — гр где 1 ^ 0 , г\^0, |
и что inf (|, г|) = |
0. |
||||||||||
Тогда утверждается, |
что | = х+, |
г\ = |
х~. |
\~ ^х . |
Но |
1 ^ 0 . |
||||||
Действительно, |
г| = | — хі>0, |
и |
значит, |
|||||||||
Следовательно, |
|
| |
есть мажоранта элементов х и 0, а |
стало |
||||||||
быть, g ^ su p (x , |
0) = |
х+, поскольку sup(х, 0), по определению, |
||||||||||
является наименьшей из всех мажорант. С |
другой |
стороны, |
||||||||||
Х = 1 — л = І — Х+ + х+ — х~ + х~ — ті = I — х + -(- Х~ — Г) + X. |
||||||||||||
Поэтому I — х+= г\ — х~. Теперь |
можем записать, что |
|
|
|||||||||
0 = inf (х+, х~) = |
inf (| — (g — х+), (г) — (т)— л:“)) = |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= —(g — х+) + inf (6, п) = —(g — х+), |
||||||
откуда g= |
x+, |
a |
г| = |
х~. |
|
х+^ у + и х ~ ^ у ~ , |
и об |
|||||
5) |
Если |
х ^ .у , |
то |
одновременно |
||||||||
ратно. |
В самом |
деле, x^«/=^sup(x, 0 )^su p (y , 0), |
и значит, |
|||||||||
х+ < г/+. А так как |
х ^ у = ? — г /^ — х и х~ = (— х)+, то у ~ ^.х ~ . |
Обратно, если х+ |
< г / + и г/~<х~, то х+ < г / +, — х~ < — у~, |
откуда, складывая |
неравенства, получаем х+— х ~ ^ .у +— у~, |
т. е. х ^ у . |
|
6) Имеем I X | = х+ + х~. Пусть| х |= sup(x, — х) и х = х +—х~.
Так как — х~ ^ х~ и — х+ |
х +, то, прибавив соответственно х+ |
и х~, получаем х+— х- |
х++ х~, — х++ х~ ^ х+ х~, т. е. |
X^ х+ + х~ и — X ^ х ++ X- . Поэтому элемент х++ х~ служит |
|
мажорантой пары (х, — х), |
и следовательно, |
sup (х, |
— х) <Lx+ -+■ х~, |