Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

56 ГЛ. И. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ

Установим теперь соответствие между N и N ^ N ■ Каждому

x ^ N поставим в соответствие класс, определяемый парой (х-\-у,у). В случае, когда х фиксировано, а у пробегает N, получаем пары, связанные отношением St, так как для (х + у, у) и {х + у', у') имеем

X + У + У’ = У + X + у'.

Два класса, соответствующие х и х', различны при х Ф х', по­ скольку они определяются посредством пар (х -J- у, у) и (х' + у', у') и могут быть тождественными, лишь если

стоящее из множества классов эквивалентности элементов вида

{хфу , у).

Этим завершается доказательство теоремы. Очевидно, что знак + не играет никакой роли, равно как и тот факт, что ис­ ходное множество было множеством N. Итак, справедлива

Те о р е ма . Пусть Е — множество, наделенное ассоциатив­ ным и коммутативным внутренним законом, для которого все элементы из Е регулярны-, тогда существует множество В, наде­ ленное таким коммутативным групповым законом, что Е изо­ морфно некоторому подмножеству В ' множества В.

Поскольку с алгебраической точки зрения множества Е и If' не различаются (ибо для того, чтобы составить композицию двух элементов из Е при помощи исходного закона, можно взять композицию их образов в В ' относительно нового закона, или наоборот), то мы будем рассматривать как алгебраически тождественные элементы из £ и из В', соответствующие друг другу при изоморфизме. Тогда множество Е выступает как под­ множество множества В , закон множества В индуцирует на Е исходный закон и любой элемент из В, а стало быть, теперь и из Е, имеет симметричный. Иногда говорят, что Е отождеств­ лено с подмножеством множества В ,

рой (х, х) по отношению 31. Но если бы мы предположили су­ ществование нейтрального элемента 0, то введенный изомор­ физм поставил бы в соответствие 0 и класс пары (х, х ). 2) Мы не касаемся вопроса о «единственности» множества <%.

§ 2. Целые рациональные, положительные рациональные числа

Пусть N — множество натуральных чисел, наделенное сло­ жением; множество Z, симметризованное из N относительно этого закона, называется множеством целых рациональных чи­ сел. Симметричный к элементу x e Z записывается (—х), и если условиться вместо у + (— х) писать у—х, то будут выполняться все обычные правила.

На множестве N, с добавленным к нему 0, существует отно­

Сложение, определенное на Z, также согласуется с установ­ ленным отношением порядка.

Пусть теперь N — множество натуральных чисел (без добав­ ления 0), наделенное законом умножения. Этот закон ассо­ циативен, коммутативен и любой элемент из N регулярен отно­ сительно этого закона. Множество Q+, симметризованное из N относительно умножения, называется множеством положитель­ ных рациональных чисел. Отношение эквивалентности 31' на N X JV будет здесь определяться равенством

кают обычные правила и обозначения. Теперь всегда возможно

место в силу того, что N не содержит 0), то

§ 3. Умножение на множестве целых рациональных чисел, сложение на множестве положительных рациональных чисел

Итак, исходя из N, которое мы симметризовали относительно сложения, мы получили целые рациональные числа. А симмет­ ризация того же множества относительно умножения привела к образованию множества положительных рациональных чисел. При этом первое из полученных множеств наделено только сло­ жением, а второе — только умножением.

Теперь мы введем, кроме того, умножение на Z и сложение на Q+, а затем (что составляет задачу 2) сольем оба множества, наделенные двумя законами, чтобы получить поле рациональ­ ных чисел.

а) Рассмотрим множество Z целых рациональных чисел.

гулярен. Этот закон «продолжает» умножение, предполагаемое заданным на N. Этот закон также дистрибутивен относительно сложения на Z. Имеем, например,

(— х) (х' + х") = — (х {х' + х")) = — (хх' + хх") =

жением.)

Принятое вначале соглашение и есть то, что называют в эле­ ментарных курсах правилом знаков.

Если теперь рассматривать Z наделенным законом сложе­ ния (полученным из N симметризацией при помощи сложения) и законом умножения, полученным «продолжением», то Z ста­ новится унитарным коммутативным кольцом и получает назва­ ние кольца целых рациональных чисел.

б) Рассмотрим множество положительных рациональных чи­ сел (наделенное пока только умножением). Если мы хотим опре-

Это соглашение правильно задает сложение положительных

не зависит от формы представления двух рассматриваемых

Наконец, очевидно, что это сложение ассоциативно и коммута­ тивно и что уже существующее умножение дистрибутивно от­ носительно этого сложения.

§ 4. Вторая задача. Поле частных кольца без делителей нуля

ЛГ V N

а) Эта задача теперь почти решена. Целому х > 0 в — ^— соответствует элемент, определяемый парой ( х у , у), а в

—— элемент, определяемый парой (ху,у), где у ф 0, и эти

отображения множества N на некоторое подмножество из

тельно сложения в Z класс пары {у, у), обозначаемый через 0, есть нейтральный элемент. Тогда, приняв снова отношение 91, Можно утверждать, что 0 определяется классом пары (0 -J- у, у) (§ 1, замечание 1).