Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

3)Если 31 есть отношение порядка, то отношение уЗІх меж­ ду X и у тоже есть отношение порядка, называемое отношением,

противоположным 31, и обозначаемое

4)X ^ у читается как «х больше у».

5)Считается, что х у логически эквивалентно у ^ х.

6)Если задано отношение порядка, то символическая за­ пись X < у означает, что х у и х ф у. В этом случае будем говорить, что X строго меньше у или что у строго больше х.

7)Если множество Е наделено отношением порядка, то го­ ворят, что Е — упорядоченное множество, или множество, наде­ ленное порядком, или что на Е введен порядок.

элементов из Е выполняется одно из отношений хЗІу или уЗІх. Если 31 есть отношение порядка на Е и если для любой

единственный, так как если бы их было два, скажем, а и Ь, то

действительных чисел не существует ни наибольшего, ни наи­

множество и А — его подмножество. Мажорантой (соответствен­ но минорантой) множества А называется любой элемент а е £ , для которого X ^ а (соответственно а х) при всех г е А В этом случае говорят, что а мажорирует (соответственно м и г ­ рирует) А или А мажорируется (соответственно минорируется)

элементом а. Если а мажорирует А относительно порядка sg:, то

что ft ^ а, то любое ft тоже может служить мажорантой для А. С соответствующими заменами это замечание верно для ми­ норант.

Если подмножество А одновременно мажорировано и минорировано, то оно называется ограниченным.

В е р х н я я и н и ж н я я г р а н и . Пусть Е — упорядоченное множество и Л — его подмножество. Верхней (соответственно нижней) гранью называется наименьшая (соответственно

наибольшая) мажоранта (соответственно миноранта) множе­

а любое число, меньшее или равное —1, его минорантой. Верх­ няя грань равна 1, а нижняя грань равна —1. Если рассмат­

ривать множество только рациональных чисел г, 0 ^ г < )/2,

то его верхней гранью будет ]/2, если считать Л подмножест­ вом действительных чисел; но если считать Л подмножеством только рациональных чисел Q, то Л будет мажорировано в Q,

ние называется монотонным. Отображение называется строго

стающее или строго убывающее отображение называется строго монотонным.

Если f есть монотонное отображение Е в F и если оно взаим­ но однозначно, то оно строго монотонно.

Если f есть отображение какого-либо множества Е в упоря­ доченное множество F, то f называется мажорированным (соот­ ветственно минорированным), если мажорировано (соответствен­ но минорировано) подмножество f{E) множества F.

Если f (E) имеет в F верхнюю грань, то эта верхняя грань на­ зывается верхней гранью отображения f и обозначается

supf(x).

*б£

Нижняя грань отображения f обозначается inf f(x).

Г Л А В А II

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ

Задание способа отнесения двум элементам множества Е не­ которого элемента из Е определяет внутренний закон. Тем са­ мым определяется отображение Е X Е в Е. Говорят также, что некоторый элемент из Е получается действием элемента из Е на элемент из Е.

Если для получения элемента из Е элемент из Е подвергается действию элемента множества F, отличного от Е или рассматри­ ваемого как отличное, то тем самым определяется внешний за­ кон, т. е. задается отображение множества Е X Г в Е. Элементы из F называются также операторами, а само множество F назы­ вается множеством операторов.

Теоретически различие между внутренним и внешним зако­ нами делать не следовало бы, так как первый есть частный слу­ чай второго при Е = F. Практически же такое различие жела­ тельно; достаточно сопоставить сложение целых чисел и умноже­ ние векторов на число.

Когда на одном и том же множестве определено несколько законов, то определяются или отыскиваются свойства одного из них через другие. Пример: в сложении и умножении действитель­ ных чисел дистрибутивность умножения относительно сложения.

В этой главе законы сначала будут предполагаться опреде­ ленными всюду, т. е. справедливыми для любой пары элементов из Г и Г

Р А З Д Е Л 1

ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ

§ 1. Определение и обозначение внутреннего закона композиции

Внутренний закон композиции на множестве Е есть отобра­ жение множества E x Е во множество Е.

Таким образом, это есть функция, переменным которой слу­ жит (х, у) е Е X Е, а значением — элемент z из Е.

Пр и ме р ы . 1) На множестве натуральных чисел определено сложение, которое двум числам п, «'ставит в соответствие число,