Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

22

ГЛ. I. ОПЕРАЦИИ. ФУНКЦИИ

из Еі. Это объединение обозначается

іе /

Если I =

N, то используется также обозначение

00

U

Еі

или (J Еі.

i s N

i= l

Два семейства, имеющие одно и то же множество значений

в &{&),

имеют одно и то

же

объединение. В случае I = N

i s I'

i s

I

Пе р е с е ч е н и е . Пересечение семейства Еі есть множество

тех і е

і 1, которые принадлежат всем Еі. Оно обозначается

П £.

is 1

При I =

N используется также обозначение

Л Еі

сю

или

Р)£г.

is N

і=і

Два

семейства, имеющие одно и то же множество значений

в ^(с?),

имеют одинаковые пересечения. Если I — N, то можно

т. е. если /' с /,

то

=>Г) Е і-

Л Е і

i s 1’

i s I

По к р ыт и е ;

р а з б и е н и е .

Пусть Е{ есть семейство под­

множеств из S и пусть А есть подмножество из <§. Говорят,

что

семейство £, покрывает А (или

является его покрытием), если

Л с

(J

Еі.

i s l

Пр и ме р ы .

Множество

кругов заданного, отличного

от

3. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

23

Говорят, что семейство £* есть разбиение множества А, если

оно удовлетворяет следующим условиям:

а)

семейство Е\ покрывает А;

(Е{ Ф 0 ) ;

б) любое множество £,■ семейства непусто

в)

множества Е{ попарно не пересекаются,

т. е.

і Ф } Ф EiOEj — 0 .

Пример . На прямой семейство полуоткрытых интервалов

[ ^ ,

где n ^ N , является разбиением

интервала ]0, 1[;

§ 1. Бинарные отношения

Определение бинарного отношения.

Пусть

Е — некоторое

множество

и пусть

А — подмножество

из Е X Е\ говорят, что

два элемента х, у е

Е связаны бинарным отношением, опреде­

ляемым посредством А, если ( х , у ) ^ А.

Пусть, например, Е — N есть множество натуральных чисел.

Рассмотрим

в N X N

подмножество А, полученное следующим

образом: А

есть множество натуральных пар (р,

q), для кото­

ство элементов (х, х), где х ^ Е ,

то отношение (д;, г/ ) еД есть

не что иное, как х =

у.

приведенные в определении,

Об о з н а ч е н и е .

Обозначения,

ливо для

любого X е

Е, т.

е.

если для

любого к е £

всегда

(х, х ) е Л ,

и значит,

если

А

содержит

диагональ

множества

E X E .

91 называется

симметричным, если

х91у ФФ у91х,

Отношение

т. е. если

( х , у ) ^ А

влечет

(у, х )^ А .

Отношение 9І называется транзитивным, если х9іу и y9lz=^

=ф> x9lz,

т.

е. если

( х , у ) ^ А

и (у, г) е

А =ф(х, г) е А ;

можно

также сказать,

что 91 транзитивно, если из того, что х связано с

у отношением 91 и у связано с г отношением 91, следует, что х

связано с z отношением 91.

антисимметричным,

если

х91у и

Отношение

91

называется

у91х =ф X = у.

Бинарное отношение 91 на множестве Е

1.

Определение.

называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно,

симметрично и транзитивно.

Пр и ме р ы .

1)

Пусть в плоскости задано направление D и

2)

Между двумя парами (p,q), {p',q')

натуральных чисел

устанавливается отношение 91\

(р,

q) 91(p', q')4$pq' = p'q

или отношение 91''.

(р, q) 91' {p', q')4=>p + q' = p' +

q-

91 и 91' являются отношениями эквивалентности;

первое служит

для определения рациональных чисел, а второе — для опреде­

ления целых относительных чисел. Здесь множество Е — N X N.

Об о з н а ч е н и я .

Пишут x9ty, или х ~ у,

или х ~

у {91),

а также х = у mod 91, причем последнее читается как «х

равно

у по модулю 91 или по 91». Говорят, что х и

у

эквивалентны.

3. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

25

Будем обозначать класс через cl (я) или х

(эти обозначения,

как мы увидим, будут нужны довольно редко)

и будем говорить,

что X есть представитель класса х.

ством X по Я, и пусть у есть элемент из х. Если г ~

у,

то г ~

х,

так как у ~ х (транзитивность); обратно, если г

~

х,

то z ~

у.

Следовательно, если задан класс эквивалентности, то для его

определения может быть взят любой его элемент.

Точно так же пусть х, у — два класса эквивалентности. Если

существует элемент z, общий этим двум классам,

то х = у, т. е.

х н у

состоят из одних и

тех

же элементов

множества

Е.

Действительно, если г е і и г е і ,

т о г ~ ^ и г ~ ( / .

Если і —

произвольный элемент из х,

то t ~ х ~ z ~ у,

следовательно,

t е у.

Получаем следующее

фундаментальное свойство.

Два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо сов­

падают.

3.

Фактормножество. Фактором или фактормножеством мно­

x&y<$f(x) — f(y).

Очевидно, что Я есть отношение эквивалентности. Пусть

Е' =

— f(E)

есть подмножество в F, состоящее из образов элементов

і е £ .

Любому х'

е Е' может быть отнесено множество }~1(х'),

являющееся, по определению, множеством элементов х ^ Е ,

для

которых х' — f(x).

Стало быть,

два элемента х, у из }~*(х')

свя­

заны

отношением

Я. Но, с другой

стороны,

пусть

х —задан­

ный элемент из Е

и пусть x' =

f(x)\

если у

связано

с х

отно­

шением

Я, то f(y) = f(x) — x',

т. е.

г/(=/_1 (*') • Следовательно,

f - 1 есть

взаимно

однозначное

отображение

множества

/(£)

на Е/Я.

26

ГЛ. I. ОПЕРАЦИИ. ФУНКЦИИ

хЯу<Ф/(х) = /(у).

Очевидно,

что Я есть отношение эквивалентности.

Пусть со — отображение Е в Е/Я, ставящее в соответствие

элементу

х е Е

класс

эквивалентности х,

определяемый

х.

Пусть, далее, ф есть отображение Е/Я в Е', определяемое

как

Ф ( х) =/ ( х) , где X — представитель класса

х. Если х '— другой

представитель класса х, то f(x) — f(x'), и следовательно,

значе­

ние ф(х)

отображения

ф в Е' не зависит

от представителя х

класса х; тем самым определена функция на Е/Я.

ф°со.

Так как X =

ю(х),

то ф(«в(х)) = /(х),

и

значит, / =

Можно еще заметить, что отображение ф инъективно,

т.

е.