Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

данных вид функции распределения обычно вначале выбирается на основании учета общих положений, в частности соответствия принимаемого закона распределения граничным условиям измене­ ния рассматриваемой гидрологической характеристики. В после­ дующем производится широкая проверка (применительно к усло­ виям различных рек) соответствия принятого закона распределения вероятностей эмпирическому материалу. Эта проверка на на­ чальных этапах использования кривых распределения для расчета гидрологических характеристик выполнялась на основании непо­ средственного сопоставления эмпирических и аналитических кри­ вых обеспеченностей. В последующем были испытаны более объек­ тивные приемы оценок, например статистический критерий %2, кри­

терий Колмогорова—Смирнова и др.

2. После выбора вида функции распределения возникает задача определения числовых значений параметров этой функции, которые рассчитываются по данным наблюдений за той или иной характе­ ристикой стока или какого-либо другого элемента гидрологического режима. Правильный выбор функции распределения и ее числовых параметров, определяемых по эмпирическим данным (среднее арифметическое значение, коэффициенты вариации и асимметрии),

в расчете выборок, важно количественно оценить эти погрешности. Такая оценка осуществляется либо с использованием теоретиче­ ских формул, выведенных при некоторых ограничениях, либо с при­ менением метода статистических испытаний.

§ 2

дискретное биномиальное распределение

В практике гидрологических расчетов наибольшее распростра­ нение получила кривая Пирсона III типа, представляющая собой обобщение дискретного биномиального распределения для случая непрерывных случайных величин. Биномиальный закон распреде­ ления соответствует повторению при постоянных условиях одного и того же испытания, имеющего лишь два исхода: появление (веро­ ятность р) или непоявление (вероятность q —1— р) случайного со­

бытия. Каждое значение случайной величины, распределенной по биномиальному закону, представляет собой число случаев (т) осу­ ществления некоторого случайного события из п возможных слу­

чаев.

Изложение схемы биномиального распределения может быть осуществлено с учетом теорем сложения и умножения вероятно­ стей.

60

По теореме сложения вероятностей следует, что вероятность появления одного из несовместимых событий без указания, какого именно, равна сумме вероятностей этих событий, или иначе, если случайное событие А может появиться в нескольких видах — Ль Л2, А3, ..., А п, имеющих разные вероятности — pi, р2, ..., р„, то ве­ роятность появления величины Л в видах Ль Лг, Аз, ..., Ль (k<n)

будет равна сумме вероятностей событий Ль Л2, ..., Л&, т. е.

Р —Р\Л~Р2-\~ • ■■-\~Pk-

Эту теорему иногда записывают в виде

Р(А w В w . . . w К )= р (А )+ р (В) + . . . + / » (К),

где обозначение w соответствует слову «или», а события А, В, ..., К

несовместимы.

По теореме умножения вероятностей следует, что вероятность совпадения нескольких независимых случайных событий равна произведению их вероятностей.

Под независимыми случайными событиями будем понимать та­ кие, при которых исход того или иного испытания не зависит от пре­ дыдущих и, следовательно, следующее испытание не может быть предсказано на основании реализации предыдущих испытаний.

Теорема умножения вероятностей обычно записывается в виде

Р(АВ . . . К )= р{А )р(В ) . . . р(К).

При этом также предполагается, что события А, В, ..., К неза­

висимы между собой.

В соответствии с указанным выше биномиальное распределение получается при решении следующей задачи.

Производится п независимых испытаний, в результате которых

события В (непоявление Л) равна q. Требуется определить вероят­ ность Рт появления события Л т раз при п испытаниях.

В технических приложениях под событием Л часто понимают, например, количество годных изделий в некотором объеме совокуп­ ности, а противоположное событие показывает количество изделий с браком. Имеются попытки [58] рассматривать статистические совокупности величин стока с позиций биномиального закона рас­ пределения. В этом случае за событие Л принимались дождливые периоды, в течение которых может формироваться сток, а в каче­ стве противоположного события — бездождные периоды. При этом считалось, что наступление дождливого и бездождного периодов является событием независимым, и, следовательно, вероятность наступления дождливого периода (р) и вероятность наступления бездождного периода (q) остаются постоянными во всех испыта­

ниях. В классических построениях теории вероятностей в качестве модели биномиального распределения обычно рассматривается схема извлечения (с последующим возвращением) шаров из урны,

61

содержащей р черных и q белых шаров. Очевидно, что все эти при­

меры сводятся к единому математическому построению. В силу этого рассмотрим вывод биномиального закона распределения в об­ щей постановке задачи.

В случае если при осуществлении опыта должно появиться одно из двух событий А или В, имеющих вероятности р и q, то сумма их вероятностей p + q = \, так как достоверно известно, что либо А , либо В в каждом опыте осуществимы.

Рассмотрим последовательно случаи с 2, 3 и 4 испытаниями, которые затем обобщим на случай п испытаний. Если вероятность события при одном испытании равна р, то вероятности того, что при двух испытаниях событие А может произойти 0 раз (т. е. не произойдет ни разу событие А, а произойдет в обоих испытаниях событие В) или 1 и 2 раза, на основании теорем об умножении и

сложении вероятностей будут соответственно равны:

(0; 1; 2) в двух испытаниях (п = 2) имеет следующее распределе­

ние:

Для трех испытаний (п = 3) аналогично получим

Полученное распределение вероятностей соответствует распре­ делению членов бинома

{Р+ Я)2= Р 2+ ‘^РЯ~]гЯ2, (Р+ Я?=Рг+ Зр2я + Зря2Л-ръ-

Полезно заметить, что число случаев появления (и непоявле­ ния) величины А в каждом распределении равно п + 1. Получен­

ную закономерность распределения вероятностей легко распростра­ нить на какое угодно число повторений опыта. Пусть опыт про­ изводится п раз. Не обращая внимания на порядок появления

случайных событий, можно ожидать осуществления одного из сле­

п + 1) появление п раз события Л.

62

Вероятность первого случая есть qn. Второй случай может про­ изойти в одном из следующих видов: или при появлении события А

в первом опыте, или во втором, или в третьем, и т. д. до последнего, причем во всех остальных появляется событие В\ вероятности каж­ дого из этих видов одинаковы и равны qn~ip, а так как количество

этих видов равно п, то вероятность второго случая будет

P2— nqn~ 1p.

В третьем случае вероятность каждого вида равна qn~2p, а чи­

сло видов, в которых может осуществиться третий случай, очевидно, равно числу сочетаний из п элементов по 2, т. е.

Г1_п(п —1)

Следовательно, вероятность третьего случая равна

P3=Cnq р .

Подобным же образом найдем вероятности и всех остальных случаев.

В соответствии с изложенным биномиальное распределение, обобщенное на п членов, может быть записано в следующей форме:

рт в разложении бинома (q + p)m. Такое распределение называется

биномиальным.

Полученный вывод, как это непосредственно следует из схемы рассуждений, относится к оценке вероятности прерывных (дис­ кретных) случайных величин, обозначенных здесь через т.

Общий вид дискретного биномиального распределения при раз­ личных п и р представлен на рис. 2.1. При р = 0,5 биномиаль­ ное распределение симметрично. Оно стремится к симметричному

63