Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 190
Скачиваний: 0
§ 7
закон распределения крайних членов выборки (распределение Гумбеля)
В качестве одного из приемов аналитического описания закона распределения совокупностей гидрологических характеристик ис пользуется теория распределения крайних членов выборки [45,130],
1000 |
200 100 |
20 |
10 |
5 |
2 |
5 |
10 |
20 |
100 200 |
1000 |
к
ч
о.о \
\\
3.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.0 |
ч |
' |
\ |
' . |
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
||||
|
|
ч*ч |
|
> |
|
- |
| |
|
2.5 |
|
|
ч |
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
Гч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч• |
|
|
|
2.0 |
|
|
|
|
чЧ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,5 |
|
0,1 |
|
|
1 |
5 10 20 |
W 60 80 90 95 99 |
99,9 Р% |
0,01 |
|
|
||||||
Рис. 2.13. Влияние коэффициента асимметрии на вид кривой распреде ления Гудрича при С„ = 0,5.
1 - C S=3CV, 2 C3=2CV, 3 - c = c v..
разработанная применительно к исследованию статистических со вокупностей экстремальных (максимальных или минимальных) зна чений гидрометеорологических характеристик (например, расходов воды, суточных осадков, скоростей ветра и т. д.).
Закон распределения крайних членов выборки может быть за писан в форме:
для совокупности наибольших величин
Р { х ^ х 0) = \ - е ~ е \ |
(2.80) |
для совокупности наименьших величин
Р ( х ^ Х о ) = е ~ е У |
(2.81) |
106
Уравнения (2.80) и (2.81) описывают интегральные кривые рас пределения вероятностей случайных величин х, расположенных в порядке убывания. Здесь у — вспомогательная переменная, пред ставляющая собой нормированное отклонение величины у от моды и связанная с исходной случайной величиной х линейной зависи
мостью
y = a (x — q), |
(2.82) |
где q — параметр уравнения (2.82), представляющий собой моду распределения вспомогательной переменной у и связанный с вели чиной х следующим соотношением:
q = x —0,45?*; |
(2.83) |
а — параметр, зависящий от х, |
|
a = i ^ - . |
(2.84) |
°ЛГ |
|
Очевидно, что 1/а имеет размерность х.
Учитывая соотношения (2.83) и (2.84), равенство (2.82) можно
представить в форме |
|
|
|
у = |
1,28 (х |
х) +0,58, |
(2.85) |
|
°х |
|
|
прих=1 |
|
|
|
у = |
1,28 |
+ 0,58 . |
(2.86 |
Применительно к совокупности случайных характеристик гидро метеорологического режима распределение крайних членов выборки можно представить в следующем виде.
Рассматривается, например, многолетний ряд ежедневных рас ходов воды. В пределах этой общей совокупности можно выделить отдельные годовые циклы, в данном случае включающие 365 эле ментов рассматриваемой характеристики стока. Теория распределе ния крайних членов выборки предусматривает, что каждый цикл характеризуется одной и той же общей для всех циклов функцией распределения Р(х), число членов совокупности стремится к бес
конечности и элементы, образующие каждую частную совокуп ность (годовой цикл), взаимно независимы. Вероятность получить значение рассматриваемой величины х ниже некоторого интересую щего нас значения х0 в пределах одного цикла может быть записана
в виде
Р ( х ^ Х о ) = \ - Р ( х ) . |
(2.87) |
107
Так как по условию функции распределения Р(х) одинакова для
всех циклов, то вероятность одновременного выполнения равен ства (2.87) для всей совокупности, включающей п циклов, по пра
вилу умножения для независимых событий, будет равна
P ( x „ ^ x 0) = P ( x l О о ; |
х-2^ х 0; х3< д :0; . . . ; |
х п^ х 0) = |
= |
[1 -Р (х )|" . |
(2.88) |
Отсюда вероятность наибольшего члена совокупности будет |
||
Р(хп- ^ х 0) = 1 - \ \ - Р ( х ) ] ' К |
(2.89) |
|
Принимая, как это отражено в схеме Гумбеля, функцию распре деления каждого цикла в форме экспоненциального закона
_ X |
|
|
P ( x < x 0) = l — е * , |
|
|
где х — математическое ожидание переменной, получаем |
|
|
( |
X \П |
|
Р (хп ^ х „ )= 1 —U — е |
х ) . |
(2.90) |
Далее допускается, что математическое ожидание (среднее зна чение) наибольших членов будет возрастать по логарифмическому закону при увеличении объема выборки (длины цикла); т. е.
х п= х \ п п,
где п — объем выборки в каждом цикле, из которой формируется
величина хп\ х — среднее значение генеральной |
совокупности при |
п — оо. |
|
Произведем замену переменной: |
|
х — х п~\~г >\\п\\ X = X \ n t l - \ - Z . |
|
В таком случае |
|
Р(хп^ х 0) = 1 — |
(2.91) |
Так как при п->- оо |
|
то при том же условии
Р (хп^ х 0)= 1 |
1 — е |
(2.92) |
т. е. рассматриваемое распределение подчиняется двойному показа тельному закону, записанному в общем виде в форме уравнения
(2.80).
108
Практическое применение кривой распределения (2.80) сво дится к вычислению величин хр в зависимости от вспомогательной
величины ур п о уравнению |
|
x P= q + — yP |
(2.93) |
которое непосредственно вытекает из равенства (2.82).
Величины у р могут быть определены в результате двукратного ло
гарифмирования выражения
|
|
|
—У |
|
100 - |
р |
|
|
|
|
|
|
|
е~е = 1 - Р |
юо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вытекающего из уравнения (2.80) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
ур= 2.30 lg [2 - |
lg (100 - Я)] - |
0,834. |
|
(2.94) |
|||||
Значения у р, |
вычисленные по уравнению |
(2.94), |
приведены |
|||||||
в табл. 2.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
2.7 |
|
|
|
|
|
|
|
Значения нормированных отклонений от моды (у р) |
|
|
|||||||
р ................ |
0,1 |
0,5 |
1,0 |
3,0 |
5,0 |
|
10 |
20 |
30 |
40 |
ур ............... |
6,90 |
5,30 |
4,60 |
3,49 |
2,97 |
2,25 |
1,50 |
1,03 |
0,672 |
|
р ................ |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
|
|
95 |
99 |
99,9 |
У р ............... |
0,367 |
0,087 |
-0 ,1 8 6 |
-0 ,4 7 6 |
-0 ,8 3 4 |
—1,10 |
-1 ,5 3 |
-1 ,9 3 |
||
Формулы (2.84) и (2.83) выражают связь между параметрами |
||||||||||
уравнения |
(2.82) |
q, а и значениями х я ох в предельном случае, ко |
||||||||
гда п —*- оо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае использования реально имеющихся при расчете срав нительно коротких рядов наблюдений Гумбель предложил оцени
вать параметры а и q по формулам: |
|
|
||
|
1 _ |
°яг(я) |
|
(2.95) |
|
а |
Су (П) |
|
|
|
|
|
||
|
д = х ( п ) — у(п) |
а |
(2.96) |
|
где у(п) |
и Оу(п) определяются по табл. |
2.8 в зависимости от числа |
||
членов п |
в имеющемся статистическом |
ряду, а |
величины х(п) и |
|
ох(п) вычисляются по обычным формулам выборочной оценки этих
параметров [формулы (1.1) и (1.16)]. В последней строке табл. 2.8
приведены теоретические значения у = 0,577 и оу—1,282, соответст вующие бесконечной длине ряда п — оо, они использованы при по
строении соотношений (2.83) и (2.84).
109