Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 200
Скачиваний: 0
Нормальное распределение имеет следующие важные свойства: 1) любое линейное преобразование исходной случайной вели чины х, имеющей нормальное распределение, сохраняет нормаль ность закона распределения. Точнее, если случайная величина х
имеет нормальное распределение с параметрами х и а, то распреде ление линейной функции у = ах + Ь будет тоже нормальным с пара
метрами ах + b и | а Iа; |
|
|
2) |
если независимые случайные величины Xi, х2, ..., х,-, ..., х„ и |
|
у I, г/2, |
..., г/г, ..., у п распределены по нормальному закону с |
пара |
метрами соответственно х, ах и у, ау, то их сумма Zi = Xi + yi |
(от г = |
|
= 1 до i = n) будет иметь также нормальное распределение с пара метрами z = x + y и az= y a 2 +о2 •
Из указанных свойств нормального распределения следует, в ча стности, что если п независимых величин Xh (k = \, 2, ..., п) имеют
одно и то же нормальное распределение с параметрами х и о, то их
сумма имеет нормальное распределение с параметрами пх и фл о.
При указанных условиях среднее арифметическое подчиняется нормальному распределению с тем же центром х, но со стандартом а/фл; таким образом, среднее квадратическое отклонение среднего
в У л раз меньше, чем стандарт величины x/t. Это соотношение ши роко используется в гидрологии для оценки величины среднего квадратического отклонения нормы стока.
Кривая распределения нормального закона в интегральном вы ражении, или в виде кривой обеспеченности, определится следую щим образом:
/ |
, |
f |
_ |
(*-■*) |
(2.98) |
Р{х)— J f ( x ) d x — |
|
J |
е |
2а2 dx. |
|
■—ао |
с |
— со |
|
|
|
Выражение (2.98) после замены переменной 1*
будет иметь вид |
I е |
|
|
P(z)~ T s |
dz. |
(2.99) |
|
|
|
Значение коэффициента 1/ф2я определено из того условия, что площадь, охватываемая кривой распределения, равна единице, а
со |
гг |
j е |
2 dz= V2r,. |
X _
1 Переменная г= -—-— называется нормированной случайной величиной.
При этом если случайная переменная х имеет среднее значение х и среднее квадратическое отклонение (стандарт) а, то при любом распределении случайной
переменной 2 = 0 и <тг=1, т. е. нормированная случайная переменная имеет сред нюю, равную нулю, и дисперсию, равную единице.
Отметим дополнительно, что применимость нормального закона к новой переменной 2 показана в следующем параграфе.
Переход от величины х к z, по существу, означает перенос на
чала координат в центр распределения и выражение абсциссы в до лях от среднего квадратического отклонения. Использование выра жения (2.99) для непосредственного вычисления вероятности по явления переменной величины х в заданном интервале невозможно,
поскольку неопределенный интеграл вида
\ e ~ ^ d z
не выражается через известные элементарные функции. |
|
|
|||||
Однако получение численного |
значения |
определенного инте |
|||||
грала может быть произведено методом |
численного интегрирова |
||||||
ния. Эта операция обычно выполняется для |
определенного |
инте |
|||||
грала, называемого функцией Лапласа, |
или интегралом вероятно |
||||||
стей |
|
|
Z 2 |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
Ф ( х ) = у = |
J е |
2 dz. |
|
|
(2 . 1 0 0 ) |
||
Интеграл (2.100) выражает площадь под кривой нормального |
|||||||
распределения с параметрами х = 0; а= 1. |
(2.100) |
представляются |
|||||
Результаты расчетов по |
формуле |
||||||
в форме таблиц интеграла |
вероятностей, |
которые |
приводятся |
||||
во всех курсах теории вероятностей и математической |
статистики |
||||||
(например [89]). Подобные таблицы существуют и |
для дифферен |
||||||
циальной формы нормированного |
(х = 0; |
о = 1) |
распределения, |
т. е. |
|||
Для выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 1 |
|
|
|
|
|
р< * )— |
|
|
|
|
( 2Л01> |
||
Интегральная кривая распределения величины х с параметрами
хф<д и 0=^1 через величины интеграла вероятностей Ф (х) выра
зится в виде
Р ( х ) = ф ( х ) ( - ^ ^ ) . |
(2.102) |
В свою очередь вероятность попадания случайной величины х,
распределенной по нормальному закону с любыми параметрами х и о, на участок, ограниченный значениями от а до р, определится
равенством
Р ( * < х < Р)=Ф |
- ф Ч ^ Ч . |
(2.103) |
117
|
|
|
Т а б л и ц а |
2.10 |
|
|
|
|
|
Вероятность (в %) попадания величины г |
в различные интервалы |
при нормальном распределении |
|||||
|
|
Пределы интегрирования уравнения (2.99) |
|
|
||||
|
от 0 до z |
О Т —Z до Z |
|
О Т — о о |
О Т — о о |
|
от —о о |
|
|
|
Д О — Z |
Д О — Z |
|
до z |
|||
|
|
|
И |
О Т Z |
Д О с о |
И Л И О Т Z Д О |
о о |
или от —z до ОО |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 О г |
|
|
|
ж |
, |
О z |
|
|
-2 О |
2 |
-т О |
|
|||
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
0 |
0.00 |
0,00 |
|
100,0 |
100,0 |
|
50,0 |
|
1,00 |
34.13 |
68,27 |
|
31,73 |
15,87 |
|
84,13 |
|
1,96 |
47,50 |
95,00 |
|
5,00 |
2,50 |
|
97,50 |
|
2.00 |
47,72 |
95,45 |
|
4,55 |
2,28 |
|
97,72 |
|
2.58 |
49,50 |
99,00 |
|
1,00 |
0,50 |
|
99,50 |
|
3,00 |
49,86 |
99,73 |
|
0,27 |
0,14 |
|
99,86 |
|
3.29 |
49,95 |
99,90 |
|
0,10 |
0,05 |
|
99,95 |
|
П р и м е ч а н и е . Величина г дана в долях а по соотношению г — х — х
Используя формулу (2.103) и таблицу интеграла вероятностей, можно, например, подсчитать вероятность попадания величины х
в пределах ±а; ±2а; ±3а. Такой подсчет показывает, что для нор мально распределенной случайной величины все рассеяние с точно стью до долей процента укладывается в пределах ±Зо (графа 6 табл. 2.10). Это так называемое «правило трех сигм» позволяет, зная среднее квадратическое отклонение и среднее значение слу чайной величины, указать интервал ее практически возможных зна чений. Одновременно это правило может быть использовано для ориентировочной оценки величины среднего квадратического откло нения. Для этого практически возможное максимальное отклонение от среднего необходимо разделить на три.
Рассмотрим основные особенности распределения вероятностей нормального закона, записанного в форме уравнения (2.100), при различных пределах интегрирования (табл. 2.10).
Важной особенностью табл. 2.10 является взаимная связь вели чин вероятностей, относящихся к различным пределам интегриро
вания. |
Действительно, например, величины графы 3 |
получаются |
умножением на два значений, приведенных в графе 2, |
а данные |
|
графы |
4 представляют собой дополнение до 100% к |
значениям |
графы 3; значения графы 5 получаются путем деления на два вели чин графы 4 и, наконец, значения графы 6 — вычитанием из 100% значений графы 5. Данные графы 5 (табл. 2.10) представляют со бой так называемую нормированную функцию Лапласа, более по дробные значения которой при г от 0,0 до 5,0 с интервалом z = 0,01
даны в работе [89].
Используя данные табл. 2.10, можно решать различные стати стические задачи.
Рассмотрим следующий пример. На основании многократных измерений расхода воды в некотором створе реки при постоянных внешних условиях установлено, что средняя величина расхода воды
равна 100 м3/с. По данным этих же измерений оценена величина |
|||||
средней квадратической ошибки о = 5 |
м3/с. |
Требуется определить |
|||
вероятность, что измеренный расход |
может |
оказаться |
удовлетво |
||
ряющим следующим условиям: |
1) Q+ cr; 2) |
Q±2o; |
3) |
3a< Q < 3a; |
|
4) Q> 110 м3/с; 5) Q<110 м3/с. |
В первом |
случае |
в соответствии |
||
с данными графы 2 табл. 2.10 вероятность равна 34,13%. Вероят
ность, что расход воды |
окажется в интервале |
от 90 |
до 100 м3/с, |
равна 95,45% (графа 3 |
табл. 2.10). Соответственно |
вероятность |
|
третьего случая (Q <85 |
м3/с или Q> 115 м3/с) |
равна 0,27%. И на |
|
конец, в четвертом и пятом случаях искомые |
вероятности равны |
||
2,28 и 97,72% (графы 5 и 6 табл. 2.10).
Выше указывалось, что нормальная кривая распределения мо жет рассматриваться как предельная форма биномиального распре деления при п-уоо. Очевидно, что эти распределения будут разли чаться тем меньше, чем больше п. Кроме того, при постоянном п би
номиальное распределение быстрее сходится к нормальному при р-*-1/2 . Это свойство биномиального распределения можно исполь
зовать, в частности, с целью упрощения расчетов по дискретному
119