Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 188
Скачиваний: 0
2 |
5 |
10 |
20 |
100 200 1000 |
Рис. 2.9. Влияние параметров (С„, С,) на форму биномиальной кри вой распределения.
а —■CS =2CV, / —С „ =0,5, 2 - C B =0,3, |
J - C „ - 0 , l ; б — =0,5, / —С„=0.5, |
2 — C s =* 1,0; |
3 — Cs = l,5 . |
Однако применение во всех случаях равенства CS=2CV создает
излишнее ограничение, поскольку многие ряды гидрологических ве личин более точно описываются при использовании иных соотно шений между указанными параметрами.
В связи с отмеченным возникла задача получения кривой рас пределения, описывающей при любых соотношениях Cv и Cs ста
тистические совокупности переменных, изменяющихся |
в пределах |
0 ^ х < оо. |
[29, 33, 90, |
Известно несколько попыток решения этой задачи |
119], которые, однако, не привели к удовлетворительным, с практи ческой точки зрения, результатам.
Удачное решение |
рассматриваемой задачи осуществили |
С. Н. Крицкий и М. Ф. |
Менкель [78]. В качестве исходной модели |
они приняли кривую Пирсона III типа при CS = 2CV и x —l. С целью
сделать ее пригодной для описания статистических совокупностей, изменяющихся в пределах О ^ х со о при любых соотношениях между параметрами кривой Cs и С„, Крицкий и Менкель трансфор мировали исходное значение признака z в новую переменную х по
соотношению
x = a z b, |
(2.55) |
где а и b — параметры, выполняющие следующие функции. Пока затель степени Ь определяет собой степень трансформации исход ной кривой г, а коэффициент а подбирается таким образом, чтобы
среднее значение ряда трансформированных значений исходной пе
ременной (zb) равнялось единице |
(x = azb= 1), так как случайная |
|
переменная рассматривается в виде модульных |
коэффициентов. |
|
В соответствии с принятым |
соотношением |
(2.55), основное |
свойство исходной кривой, заключающееся в простирании ее в об ласти 0 ^ г < о о , сохраняется, очевидно, и для искомой кривой х.
Смысл использования соотношения (2.55) заключается в том, что, трансформируя с помощью показателя b исходное значение при
знака кривой Пирсона III типа, мы тем самым изменяли значение коэффициента вариации ряда, но поскольку в исходном уравнении он функционально связан с величиной коэффициента асимметрии, то, следовательно, соответственно изменяется величина и этого па раметра. При этом только в частном случае при b —1 соотношение
между рассматриваемыми параметрами кривой распределения удо
влетворяет равенству CS = 2CV. |
Таким образом, |
новое |
распределе |
|
ние выражается уже двумя |
независимыми |
параметрами С„ |
и |
|
Csx, при условии, что х=1. Выполнение этого |
условия |
(х=1) |
до |
|
стигается, как указано, выбором соответствующего значения коэф фициента а.
Трансформация исходного уравнения кривой распределения (кривой Пирсона III типа при CS = 2C„) в новый закон распределе ния Р (х ) осуществляется по формуле
P ( x ) ^ P 0( z ) ^ , |
(2.56) |
96
где Ро (г) определяется по (2.43):
|
|
|
Г ( а) |
|
|
|
|
|
|
(2.57) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это уравнение кривой Пирсона |
III типа |
при |
2 = 1 , CS= 2C„ |
|||||||
и а=1/С„ |
. В таком случае искомый |
закон |
распределения |
Р (х) |
||||||
можно представить в виде |
|
|
|
X \1/* |
И J |
|
||||
|
dP |
а а |
1 |
|
- а ( |
|
||||
|
■е |
а ) |
х ь |
, |
(2.58) |
|||||
|
dx |
Г (о.) |
а*1ЬЬ |
|
■ |
л |
|
|
||
|
1 |
X \ 1‘ъ |
dz |
/ |
1 |
^l ‘/6 |
1 |
|
, |
|
имея в виду, что |
— |
dx |
|
а >' |
— |
х1'ь-у |
|
|||
|
\ |
а / |
|
b |
|
|
(k = |
|||
Выражая величину х в форме модульных коэффициентов |
||||||||||
--х/х), уравнение (2.58) можно представить в виде |
|
|
||||||||
dP |
1 |
1 |
|
/ х \i/* / 1\i/* |
|
.«__, |
|
|||
- а Ы |
|
( - ) |
|
(JLV |
(2.59) |
|||||
dx |
Г (“) |
ачЬЬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая зависимость (2.63), уравнение искомой кривой окон чательно можно записать в форме
dP |
1 ГГ (а+*) |
1 |
dx |
Г ( а) |
Г (я) b |
Г Г |
( t t + f t ) |
ДГ |
11/ft ( |
X |
----- I |
I |
г <«) |
' х \ |
[ |
X ) |
(2.60) |
Определение параметров уравнения (2.58) а=1/С„ , а и b осу
ществимо с помощью моментов полученной кривой распределения. Начальный момент ти определяется по равенству
|
00 |
ауЛ/& а |
|
|
. _ ± _ |
f е~ |
~аПТ x T + k ~ Xd x = Г(*-— |
. (2.61) |
|
k Г (“) aalbb |
J |
Г ( а ) |
v |
' |
Первый начальный момент, или среднее значение ряда, в соот ветствии с ранее принятым условием равен единице
тх= Т(а+ Ь)а= х = \ . |
(2.62) |
||
|
Г ( а) аР |
v |
' |
Из последнего равенства непосредственно |
определяется значе- |
||
ние параметра а |
Г ( а ) а» |
|
|
а- |
|
(2.63) |
|
Г (а + Ь) |
|
||
|
|
|
|
На основании уравнения (2.61) можно определить второй и тре тий начальные моменты, а затем от этих выражений перейти по формуле (1.38) ко второму и третьему центральному моментам:
|
[Х2х~ |
Г ( а ) Г (а + 2Ь) |
1, |
(2.64) |
||
|
[Г(а + *)]2 |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
Г 2 ( а ) Г ( а |
+ 3*) |
о Г ( а) Г (а + 2Ь) |
(2.65) |
||
’•Зх- |
[ Г ( а + |
* ) ] 3 |
|
[Г (я -(- й)] 2 ~rZ- |
||
7 Зак . № 88 |
9 7 |
Система уравнений (2.62), (2.64) и (2.65) связывает параметры ос, а, b через центральные моменты и, следовательно, позволяет по
лучить их значения на основании второго и третьего центральных моментов (или связанных с ними коэффициентов вариации и асим метрии) новой кривой распределения. Непосредственное использо вание уравнений (2.62), (2.64) и (2.65) для выполнения указанной цели технически затруднено вследствие того, что эти уравнения мо
гут быть решены лишь подбором. Такое решение |
выполнено вна |
|||
чале |
Д. В. Коренистовым |
[64], а затем в более |
полном |
виде |
Е. Г. |
Блохиновым и Н. В. |
Никольской [24]. Это |
решение |
дано |
в форме таблиц ординат (модульных коэффициентов) кривых обес
печенностей, |
охватывающих диапазон коэффициентов вариации |
от 0,10 до 2,0 |
при различных соотношениях1 Cs/C„. |
Применение этих таблиц сводится к достаточно простым опера циям. В зависимости от принятого соотношения Cs/Cv выбирается соответствующая таблица, по которой при заданном Cv и различ
ных обеспеченностях находятся значения ординат интегральной кривой (кривой обеспеченности), выраженные в модульных коэф фициентах. Умножая значения ординат на среднюю арифметиче скую величину рассматриваемого ряда, получаем ординаты кривой обеспеченности в форме величин исходного ряда.
Кривые обеспеченности Крицкого—Менкеля при различных зна чениях Cs и С„ представлены на рис. 2.10.
Используем кривую трехпараметрического гамма-распределе ния для расчета величин годового стока различной обеспеченности р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки. Применительно к этому
створу имеем: х = 3,78 л/с-км2; С„ = 0,28; Cs= 0,46. Принимая Cs = = l,5Cv и используя таблицу трехпараметрического гамма-распре
деления, получаем следующую расчетную таблицу (табл. 2.5).
|
|
|
Т а б л и ц а |
2.5 |
|
|
|
|
|
Расчет величин годового стока различной обеспеченности (qP%) р. Днепра |
|||||||||
|
|
у пгт Лоцманской Каменки |
|
|
|
|
|||
Р ° 1 о ............... |
. . 1 |
3 |
5 |
10 |
50 |
60 |
80 |
90 |
99 |
.................. . . .1,73 |
1,58 |
1,49 |
1,37 |
0,98 |
0,91 |
0,76 |
0,66 |
0,44 |
|
Яр = Х р Х . . |
. . 6,54 |
5,97 |
5,63 |
5,18 |
3,70 |
3,44 |
2,87 |
2,49 |
1,66 |
Сопоставление результатов расчета с использованием биномиаль ной кривой (табл. 2.4) и кривой Крицкого—Менкеля (табл. 2.5) показывает практически полное их совпадение в пределах рассмат риваемого диапазона обеспеченностей. В областях же экстраполя ции наблюдается некоторое расхождение. Соотношение между ор динатами рассматриваемых кривых обеспеченностей зависит от принимаемых величин коэффициентов вариации и асимметрии.
1 См. «Руководство по определению расчетных гидрологических характери- ' стик» (приложение 2).
98
При CS>2CV в зонах больших обеспеченностей (Р>99% ) трех
параметрическому гамма-распределению соответствуют меньшие значения ординат кривой обеспеченности по сравнению с биноми альной кривой; в зоне малых обеспеченностей (Я<1% ) соотноше ние меняется на противоположное. Это связано с тем, что трехпа раметрическое гамма-распределение во всех случаях нижним пре делом имеет нулевое значение признака, а кривая Пирсона III типа при Cs/Cv> 2 ограничена некоторым положительным числом (х0>
> 0 ). Когда кривая Пирсона III типа в зоне больших обеспечен ностей уходит в область отрицательных значений признака, оче видно, что при CS<2CVсоотношение между ординатами рассматри
ваемых кривых в зоне больших и малых обеспеченностей изменится на противоположное по сравнению с условием CS>2CV.
Отмеченное взаимно компенсирующее смещение верхней и ниж ней частей кривых вытекает из условия равенства единице пло щади, ограниченной любой кривой распределения вероятностей.
§ 6
распределение Р. Д. Гудрича
Для описания статистических совокупностей речного стока и осадков Р. Д. Гудрич [147] использовал эмпирически полученное уравнение
_ а |
( Х — Х д ) П |
Р ( х ) = е |
(2.66) |
где Р(х) — обеспеченность, или вероятность превышения х; х0— ми нимальное значение рассматриваемой случайной переменной; X — максимальное значение переменной; а, п, т — параметры, опреде ляемые по ряду значений х, установленных в результате измерений
(наблюдений).
Подробное исследование уравнения (2.66) выполнил Г. А. Алек сеев [10], который показал, что оно не является только эмпириче ским решением, привлекаемым для аналитического описания кри вых обеспеченностей, а может рассматриваться как соответствую щее определенной статистической схеме.
В качестве основы такой схемы Алексеев рассмотрел случайные величины, образующиеся в результате монотонного (односторон него) роста от своих нижних пределов до paccMafpuBaeMbix значе ний, причем так, что для достижения признаков какого-либо зна чения х + у ему сначала нужно получить значение х, а дальнейшее увеличение его на величину у не зависит от уже достигнутого зна
чения х, иначе говоря, при условии, что приращение признака не за висит от достигнутой им величины.
Уравнение (2.66) содержит пять параметров, поэтому практи чески оно используется только в частных формах, а именно:
1 0 0