Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

вой распределения и ее построения. Это упрощает расчеты и сни­ мает некоторые дополнительные принципиальные затруднения, свя­ занные с выбором типа кривой распределения.

Однако этот вариант нормализации случайной переменной х

приводит к некоторому сглаживанию колебаний исходного ряда, к его некоторой генерализации и, следовательно, к большей стати­ стической устойчивости решений.

При выполнении нормализации по второму способу (т. е. через кривую обеспеченности, принятую в качестве аппроксимирующей эмпирический ряд) полностью сохраняются свойственные исход­ ному эмпирическому ряду флуктуации. Например, довольно часто величины эмпирического ряда в зоне малых обеспеченностей не со­ гласуются с общим направлением аналитической кривой обеспе­ ченности (так называемые иногда «отскакивающие точки»). Такое рассеяние, свойственное исходному ряду, сохраняется и при нор­ мализации по рассматриваемому второму способу.

Сохраняя в нормализованном ряду флуктуации исходной вы­ борки, можно использовать существующий математический аппа­ рат для оценки выборочных значений различных характеристик (параметров) статистического ряда.

В некоторых случаях может оказаться целесообразным преобра­ зовать заданное эмпирическое распределение к нормальному виду

с параметрами cr= 1 и х = 0; для осуществления такого преобразо­ вания в нижней части графика (рис. 2.17) необходимо использовать нормальную кривую распределения с этими параметрами.

Рассмотренный прием преобразования закона распределения исходной случайной переменной в нормальный закон может быть обобщен и на случай преобразования к любому закону распределе­ ния, для чего лишь необходимо в нижней части графика в качестве трансформационной функции использовать тот интегральный за­ кон распределения, к которому мы хотим преобразовать случайную переменную. Однако при решении гидрологических задач указан­ ное преобразование обычно осуществляется применительно к нор­ мальному закону распределения.

В том случае, когда закон распределения рассматриваемой ста­ тистической совокупности (кривая а на рис. 2.17) и закон распре­

деления, к которому преобразуется случайная переменная (кри­ вая б на рис. 2.17), табулированы, преобразование может быть осу­

ществлено, минуя графические построения и осуществляя переход от одной таблицы в другую в соответствии со значениями эмпириче­ ской обеспеченности членов исходной статистической совокуп­ ности. ■

Очевидно, что в том случае, когда преобразование исходного ряда осуществляется непосредственно через эмпирические обеспе­ ченности без использования интегрального закона, аппроксимирую­ щего эмпирический ряд (т. е. по первому варианту), достаточно использовать лишь таблицу того закона распределения, в который осуществляется преобразование исходного ряда.

125

При нормализации непрерывной случайной величины х

можно пользоваться любыми таблицами нормального закона распределения, осуществляя в случае необходимости дополнитель­ ные пересчеты, подобные тем, которые рассматривались при ана­ лизе табл. 2.10. Таблица нормального закона распределения

вформе, удобной для решения гидрологических задач, приведена

вработе [9].

Описанный прием нормализации исходного ряда непосредст­ венно через эмпирические обеспеченности использовал Г. А. Алек­ сеев [9] при исследовании корреляционных связей характеристик гидрометеорологического режима. В связи с этим он пересчитал таблицу нормального закона распределения в таблицу, позволяю­ щую определить по заданным величинам эмпирической обеспечен­ ности ординаты кривой нормального закона [9].

II. Преобразование нормального закона распределения в асим­ метричный закон, простирающийся от нуля до бесконечности, осно­ вывается на использовании общих соотношений, определяющих аналитическое преобразование одного закона распределения в дру­ гой. Задача ставится следующим образом. Задан закон распреде­ ления случайной величины у в виде Р (у); случайная величина х связана с у функциональной зависимостью x = f(y). Нужно опре­ делить закон распределения Р (х) случайной величины х.

Будем считать, что обратная функция у=<р{х) однозначна (рис. 2.18). Вероятность того, что случайная переменная у\ попадет

Аналогичным образом (в силу принятой однозначной связи между х и у) в интегральном выражении вероятность непревышения (или превышения) данного значения исходной переменной х и преобразованной у будет одинакова. В этом заключается важная

особенность рассматриваемого преобразования как равновероятно­

стного.

Из равенства (2.107) следует, что

Причем, производную нужно брать по абсолютному значению, так как функция распределения всегда положительна.

Введя вместо у функцию у=ц> (х), получаем

(2.109)

126

Таким образом, выражение (2.109) определяет закон распреде­ ления случайной величины х по известному закону распределения непрерывной случайной переменной у в зависимости от вида функ­

ции преобразования х = / (у).

Если функция у=кр(х) является двузначной (рис. 2.18), т. е. каждому значению х соответствует два значения у, формулу (2.109) нужно применить дважды — к каждой ветви кривой у =<pi (лг) и У = фг (х)

Я(х) = Я* (у) [^(х)] dx + Я*(У)ЫА>]

Рис. 2.18. Иллюстрация однозначной (я) и двузначной (б) функций.

Числовые характеристики (моменты) закона распределения случайной величины х можно определить, не устанавливая выра­ жение Р (у)\ это можно сделать проще. В самом деле, математиче­

ское ожидание величины х равно

127

В частности, для дисперсии имеем

ется однозначной функцией х, а пределы изменения как х, так и 2 от —оо до оо.

Выразим х через функцию преобразования, т. е. получим обрат­

ную функцию

X = Z a x -\-Х ,

няет нормальности распределения и для случая х = 0 и а^=1.

Подобным образом можно показать, что применение аналогич­ ного преобразования в отношении случайных величин, распределен­ ных по иным законам (например, по биномиальному), также не ме­ няет исходную схему распределения.

В практике расчетов гидрометеорологических характеристик иногда используется так называемое логарифмически-нормальное распределение, получаемое путем трансформации нормального за­ кона.

Исходное уравнение нормального закона для плотности вероят­ ности величины у, как известно, может быть записано в форме

Чтобы приспособить этот закон распределения для описания асимметричных статистических совокупностей переменных, изме­ няющихся в пределах от 0 до оо, преобразуем г/= 1пх; это равно­ сильно тому, что принята обратная функция x = f(y) в виде х = еу.

В таком случае

rfy__ 1 dx х

128

Учитывая это, распределение (2.114) преобразуем в логарифми- чески-нормальное распределение

описывает совокупность случайной переменной, логарифм которой распределен по нормальному закону. Распределение характеризу­ ется положительной асимметрией, возрастающей с увеличением а.

Поскольку отрицательные величины не имеют логарифмов, то лога­ рифмически-нормальное распределение описывает статистическую совокупность величин, изменяющихся в пределе от 0 до оо.

Логарифмически-нормальное распределение соответствует та­ кой статистической модели, в которой предполагается, что форми­ рование случайной величины происходит в результате умножения

рами логарифмически-нормальной кривой распределения исходной величины х и нормальной кривой величины у = \пх. Для этого зави­

симость (2.115) запишем в виде

чески-нормальному закону распределения случайной переменной х,

записанной в виде (2.116), получаем для начальных моментов

или, имея в виду, что dx = ev dy, получаем

ц

(2.119)