Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

варианту биномиального распределения, которые достаточно ве­ лики по объему. При этом в первую очередь необходимо выяснить, каков должен быть минимальный объем выборки, позволяющий осуществлять замену дискретного биномиального распределения нормальным. Конечно, допустимое расхождение зависит от условий рассматриваемой задачи и потому не может оцениваться одно­ значно во всех случаях.

В качестве приближенного практического критерия иногда ис­ пользуют соотношение пр^25, при выполнении которого допуска­ ется замена биномиального распределения нормальным. Опираясь на указанное соотношение, можно оценить минимальный объем вы­ борки при различных р (табл. 2.11).

ность пересыхания реки, равная или более шести раз, оцененная по формуле (2.2), равна 0,192.

Переход от дискретного биномиального распределения к непре­ рывному нормальному осуществляется по соотношению

где г' — нормированная случайная величина, распределенная по дискретному биномиальному закону; z — нормированная случайная

величина, распределенная по нормальному закону; Аг — интервал дискретности, выраженный в долях среднего квадратического от­ клонения (а).

Используя (2.4) и (2.5), определим математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и интервал дискретности слу­ чайной величины, распределенной по дискретному биномиальному распределению,

х = п р = 20 • 0,2= 4,

1 2 0

На основании полученных значений имеем

случайной величины в интервал от 2 = 0,84 до 2 = оо, равную 0,2005

и выраженную в долях от единицы. Вероятность рассматриваемого события (пересыхания реки), определенная непосредственно с ис­ пользованием дискретного биномиального распределения, была определена равной 0,192. Расхождение между оценкой этой вероят­ ности по первому и второму вариантам составляет 0,008, или 4%..

Таким образом, использование нормального закона распределе­ ния для аппроксимации дискретного биномиального закона даже' для случая лр = 4 оказалось практически приемлемым. Очевидно,, что условия, приведенные в табл. 2.11 (при р = 0,2; л=125), обеспе­ чили бы точность аппроксимации, значительно превосходящую точ­ ность оценки параметров кривой распределения по исходному ряду.

При использовании указанного приема аппроксимации следует

иметь в виду, что, чем меньше величина & г = \Ц npq, тем больше-

сходимость нормального и биномиального законов распределения. В случаях когда р достаточно мало, а пр сохраняет постоянное

значение, хорошее приближение к биномиальному закону распре­ деления, как указывалось выше, дает распределение Пуассона.

Учитывая широкое применение нормального закона распреде­ ления в практике и теории статистического анализа, часто возни­ кает необходимость преобразования случайной величины к нор­ мальному виду (см. § 9 данной главы).

§ 9

законы распределения функционально преобразованных случайных величин

При решении задач статистики и теории вероятностей закон рас­ пределения случайной переменной х иногда целесообразно преоб­ разовать в закон распределения случайной величины у, связанной с х функциональной зависимостью у=ц>(х). Примером такого пре­

образования является рассмотренная в § 5 кривая трехпараметри­ ческого гамма-распределения С. Н. Крицкого и М. Ф. Менкеля.

Определенное развитие в практике расчетов речного стока по­ лучило направление, связанное с использованием нормальной кри­ вой распределения. Непосредственно нормальная кривая не приме­ нима к расчетам речного стока, так как она симметрична (в то время как ряды стока в большинстве случаев асимметричны) и охватывает интервал изменения переменной не в пределах 0 < х < < оо (характерных для существенно положительных величин), а в пределах —оо < х < оо.

1 2 1

Возможность использования нормальной кривой распределения для расчетов речного стока связывается с двумя направлениями:

I) преобразованием значений исходной переменной л: путем за­ мены ее новой варьирующей величиной у, подчиняющейся нормаль­

в пределах от 0 до оо (например, лог-нормалыюе распределение). I. Использование первого направления возможно в двух вари­

антах: аналитическом и графоаналитическом.

1. А н а л и т и ч е с к и й в а р и а н т основан на применении функции преобразования у = ср(х), позволяющей получить величину у, распределенную по нормальному закону, в отличие от исходной величины х, подчиненной иному (в частности асимметричному) за­

кону распределения.

стока получило стандартное преобразование случайной переменной по зависимости y = \gx. Переходя от величины х к lgx, мы тем са­

мым расширяем исходный интервал изменения переменной, заклю­ ченной в пределы от 0 до оо, на интервал от •—оо до оо, что соответ­

ствует нормальному закону распределения.

В случае логарифмического преобразования исходной перемен­

ной л: выборочные значения параметров — среднего lgx и среднего квадратического отклонения aig*— вычисляются по следующим формулам:

где y = ]gx — варьирующая величина; п — число членов ряда.

122

Выражение для у можно представить в виде:

П

2 \gxt

где хгеом — среднее геометрическое.

Таким образом, логарифмическое преобразование выборки при оценке центра распределения ведет к переходу от среднего ариф­ метического к среднему геометрическому, которое, как доказыва­ ется в математической статистике, всегда меньше среднего арифме­ тического.

2. Г р а ф о а н а л и т и ч е с к и й в а р и а н т основан на преоб­ разовании закона распределения исходной величины х в другой за­ кон распределения (в частности, нормальный) путем трансформа­ ции величин исходного ряда через кривую обеспеченности этого но­ вого закона. При использовании этого приема, очевидно, отпадает необходимость отыскания функции преобразования в том виде, как это указано в п. 1.

Рассмотрим этот прием более детально.

Допустим, требуется трансформировать в нормальный закон ис­ ходный ряд величин среднегодовых расходов воды р. Дона у ст. Ка­

занской с параметрами х = 3,18 л/с-км2, C\,= 0,30, CS= 2C„.

Для выполнения этой операции сделаем графическое построе­ ние, приведенное на рис. 2.17. В верхней части графика нанесены точки, соответствующие значениям величин исходного ряда и их эмпирическим обеспеченностям, вычисленным, например, по фор­ муле

в убывающем порядке величин исходного ряда; п — объем совокуп­

ности.

Для рассматриваемой совокупности построена биномиальная

Cs= 0. Шкала обеспеченностей является единой для верхней и ниж­ ней частей графика.

Нормализация исходного ряда может быть осуществлена двумя способами.

В первом способе каждую точку эмпирического ряда, в соответ­ ствии с ее эмпирической обеспеченностью (Рт), совмещаем

123

снаходящейся в нижней части графика кривой нормального закона,

азатем, переходя от этой кривой на ось ординат, получаем норма­ лизованное значение величины х, которое обозначим через t(x).

Повторяя такую операцию в отношении всех величин исходного

ряда, получаем новый ряд с параметрами: t{x) = 3,19 л/с • км2,

CVt= 0,29.

Во втором способе нормализация осуществляется следующим образом. В соответствии с величиной эмпирической обеспеченно­ сти (Рт ) каждого члена эмпирического ряда устанавливаем точку

на аналитической кривой обеспеченности, принятой в качестве ап­ проксимирующей рассматриваемый ряд. Затем проектируем4 эту точку на нормальную кривую и далее, переходя на ось ординат, по­ лучаем нормализованные значения исходного ряда. При этом спо­

собе параметры нормализованного ряда оказались равными: ы' = = 3,19 л/с • км2; C„u,=0,30.

Сопоставим указанные два приема нормализации.

При осуществлении нормализации по первому варианту не тре­ буется знать закон распределения преобразуемой случайной пере­ менной х, который в точном его выражении обычно и не известен.

Соответственно отпадает необходимость расчета параметров кри­

124