Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

В выражении (2.119) второй член от у не зависит и, следова-

Используя зависимость (2.122) и формулы перехода от началь­ ных моментов к центральным (1.38), получаем соотношения между параметрами рассматриваемых рядов х и г/= 1пх:

1 3 0

Решая уравнение (2.127) с использованием формулы Кардана, имеем

С, = 1/ 4 " + / ' +

Из уравнения (2.127) следует, что если колебания случайной пе­ ременной, подчиняющейся логарифмически-нормалыюму закону распределения, заключены в пределах от 0 до оо, то коэффициент асимметрии определяется однозначно. Следовательно, логарифми- чески-нормальное распределение, распространяющееся в указан­ ных пределах, является двухпараметрическим. Это обстоятельство ограничивает ее применение теми статистическими совокупностями, для которых характерно соотношение CS^ 3 C V+ СР. В частности,

это распределение достаточно удовлетворительно соответствует рядам максимального дождевого стока и суточных максимумов осадков.

Для величин х р различной обеспеченности можно написать

ния переменной х, распределенной по логарифмически-нормаль- ному закону. Величина tP, x в зависимости от параметров нормаль­ ной кривой, характеризующих распределение у = \пх, может быть

представлена в виде

позволяющую определять величину iP, х в зависимости от величины коэффициента асимметрии ряда величин х. Эта таблица с некото­

рыми дополнениями, произведенными Г. А. Алексеевым, приведена в работе [9].

Выше указано, что использование преобразования исходной ве­ личины х в форме х — еУ или у — \пх приводит к установлению

однозначной связи между величинами коэффициентов вариации и асимметрии логарифмически-нормальной кривой распределения в виде (2.127).

Рассматриваемому преобразованию можно придать более об­ щую форму, приняв исходную зависимость в виде

у = In Z,

где z — x — а. В таком случае однозначная связь между коэффици­

ентами вариации и асимметрии устанавливается уже для величин z=-x— а, поскольку, производя указанное преобразование, мы счи­

таем, что по нормальному закону распределяются не величины 1пх, а значения In2 = In (х — а)

Известно, что для двух случайных величин х и z = x — а, отли­ чающихся на постоянную величину а, их средние квадратические отклонения равны oz = ox. В таком случае можно написать

Таким образом, преобразование исходной переменной х.по ра­ венству у = In (х — а) приводит к различным соотношениям между

коэффициентами вариации и асимметрии исходной случайной пере­ менной х в зависимости от величин а.

Из уравнения (2.132) следует, что при k0 = 0 получается зависи­

мость (2.127), что соответствует пределам простирания логариф­ мически-нормальной кривой от 0 до оо; при k > 0 пределы прости­ рания кривой будут от а до оо; при k < 0 кривая при некоторых зна­

чениях обеспеченности выйдет в область отрицательных значений х. Рассмотрим пример, иллюстрирующий использование приема преобразования исходной переменной х в величину у, по соотноше­ нию y = \gx с целью применить для аппроксимации преобразован­

ного ряда нормальный закон распределения. За исходный ряд при­ нимаем величины среднегодовых значений расходов воды р. Дне­ пра у пгт Лоцманской Каменки (см. табл. 1.1). Находим значения логарифмов исходных величин и по ним в соответствии с эмпириче­ ской обеспеченностью каждого члена ряда получаем эмпирическую кривую обеспеченности, определяемую расположением эмпириче­ ских точек (рис. 2.19). Построение выполняем на клетчатке вероят­ ности, спрямляющей нормальную кривую обеспеченности. Располо­ жение эмпирических точек вдоль прямой линии свидетельствует о том, что принятое преобразование обеспечивает трансформацию исходного ряда в нормальный закон.

132

Вычисление величин модульных коэффициентов различной обес­ печенности можно выполнить двумя способами:

1) используя эмпирическую кривую обеспеченности (в данном случае прямую линию), проведенную на глаз применительно к имеющейся совокупности точек;

Рис. 2.19.. Лсгарифмически-нормальное распределение годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки.

1—эмпирические точки, 2—логарифмически-нормальная кривая.

2) осуществляя построение аналитической кривой обеспеченно­ сти нормального закона на основании параметров ряда величин

lgx. Эти параметры в данном случае равны: lg x = —0,02: (%ж= = 0,12; Cs = 0.

По указанным значениям параметров, используя таблицу бино­ миального распределения для случая С«= 0, находим логарифмы модульных коэффициентов для нескольких произвольно выбранных значений обеспеченности (\gkP).

Величины lg&p различной обеспеченности вычисляем по обыч­ ной схеме. Например, для Р= 1 % имеем

lg £1%= 2,33 • 0 ,1 2 -0,02= 0,26 .

Определив таким образом величины \gk для нескольких значе­

ний вероятности, строим линию, характеризующую в данном случае закон распределения величин \gk. По логарифму k находим рас­

четное значение модульного коэффициента £ 1%=1,84 л/с*км2.

133

§1 0

кривая распределения Г. Н. Бровковича

Уже неоднократно отмечалось, что биномиальная кривая рас­ пределения в случае CS<2CVпри экстраполяции нижней части кри­

вой за пределы наблюденных данных уходит в область отрицатель­ ных величин. Поскольку многие характеристики гидрологического режима, в том числе и расходы воды, по своей физической сущности не могут быть отрицательными, отмеченное свойство биномиаль­ ной кривой следует считать ее принципиальным недостатком. С це­ лью устранить этот недостаток биномиальной кривой были пред­

кривой при CS — 2CV проходить при 100%-ной обеспеченности через

нулевое значение признака сохранить это свойство при иных соот­ ношениях между параметрами Cv и Cs.

Один из приемов такого преобразования предложен С. И. Крицким и М. Ф. Менкелем, в результате которого получено так назы­

кривой распределения была предпринята Г. Н. Бровковичем [29]. Использованный им прием преобразования отличается от приема Крицкого и Менкеля. Он состоит в разложении функции распреде­ ления вероятностей по полиномам Лагера. Возникающий при этом многочлен в качестве первого элемента включает уравнение бино­ миальной кривой распределения при CS = 2C„.

В результате для распределения плотности вероятностей полу­

гд еа = 1 /С*; М2=1 + С*; М3 = (1 + С^) (1+ 2(7 ).

В многочлен, представленный уравнением (2.133), можно вклю­ чить и большее число слагаемых, но вычисление их требует знания эксцесса и моментов более высоких порядков, определить которые по имеющимся, сравнительно непродолжительным рядам наблюде­ ний с необходимой точностью невозможно. Сомножитель, заклю­ ченный в фигурные скобки (пертурбационный многочлен), позво­ ляет преобразовать исходный закон распределения

/3o W = r ^ r JC“" le"“

в более общее выражение, что обеспечивает получение лучшего со­ ответствия аналитической кривой эмпирическому ряду в пределах наблюденных значений.

1 3 1