Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

откуда после несложных преобразований при г = 2 получаем

Установим ограничения для коэффициента асимметрии, свойст­

Используя известные соотношения между начальными и цент­ ральными моментами и выражениями для коэффициентов вариации

(2.146) получается только при Сщ = 1. Можно показать, что Cs не может быть меньше, чем Cs = 2.

Таким образом, ВФИ-распределение имеет определенные огра­ ничения по коэффициенту вариации (С„) и коэффициенту асим­ метрии (Cs), что несколько ограничивает область применения дан­ ного распределения в гидрологических расчетах. Случай при С„ = = 1,0 и Cs= 2,0 является предельным для ВФИ-распределения. При этом верхняя и нижняя границы сливаются и совпадают с распре­ делением Пирсона III типа. Очевидно, что при расчетах максималь­ ных расходов воды следует использовать верхнюю границу ВФИраспределения, а при расчетах минимальных расходов воды — ниж­ нюю границу.

На рис. 2.25 представлены верхняя и нижняя границы ВФИраспределения при С„ = 0,5 и частные кривые распределения, отно­ сящиеся к классу распределений с возрастающей функцией интен­ сивности. На этом рисунке видно, что различные применяющиеся в гидрологии кривые распределения при различных коэффициентах асимметрии располагаются между верхней и нижней границами ВФИ-распределения, что дополнительно свидетельствует о правиль­ ности теоретических построений ВФИ-распределения. Переломные точки, отмечающиеся на границах рассматриваемого распределе­ ния (как правило, в средней части кривой обеспеченности), есть результат математических обобщений и практически не сказыва­ ются на гидрологических расчетах, в которых обычно используются лишь зоны малых (максимальные расходы воды) и больших (мини­ мальные расходы воды) обеспеченностей.

Применение ВФИ-распределения в практике гидрологических расчетов можно рекомендовать в случаях, когда имеются сведения о норме стока и коэффициенте вариации, которые получены какимлибо косвенным способом, и никакой информации о виде теорети­ ческой кривой распределения и, что особенно важно, о коэффици­ енте асимметрии не имеется. Когда же имеются сведения, лишь

151

глава III

клетчатки вероятностей,

графические и графоаналитические методы определения параметров кривых распределения и величин различной обеспеченности

§ 1

назначение клетчаток вероятностей1

Интегральные кривые распределения вероятностей, применяе­ мые в гидрологии, в декартовых шкалах координат имеют довольно’ сложные выпукло-вогнутые очертания. На концевых участках эти кривые при незначительных приращениях обеспеченности обычно имеют большие приращения исследуемой функции распределения. Это затрудняет выполнение графического сглаживания и особенно экстраполяцию эмпирических кривых в зонах малых и больших обеспеченностей, не освещенных материалами наблюдений.

Для устранения этой чисто технической трудности применяются специальные клетчатки вероятностей, позволяющие выравниватьили даже полностью спрямлять кривые обеспеченности.

Клетчатки вероятностей могут быть использованы для опреде­ ления графическим или графоаналитическим способами парамет­ ров кривой распределения, соответствующей рассматриваемому статистическому ряду.

1 В некоторых областях технического приложения статистики они называ­ ются вероятностными бумагами.

153;

Отметим, что графический способ определения параметров кри­ вых распределения связан с условием полного спрямления рассмат­ риваемого закона распределения на клетчатке вероятностей. При­ менение графоаналитического приема возможно без строгого выполнения этого условия. В этом случае можно ограничиться ис­ пользованием любой из клетчатой вероятностей, обеспечивающей более или менее значительное выравнивание эмпирической кривой обеспеченности. Такое выравнивание облегчает получение опорных значений ординат этой кривой, входящих в схему расчета. Более подробно об этом сказано в параграфе четыре настоящей главы.

Рассмотрим некоторые принципиальные положения, лежащие

воснове методов определения параметров кривых распределения

сиспользованием клетчаток вероятностей. Предварительно напом­ ним, что основной, наиболее распространенный прием заключается

ввычислении этих параметров по методу моментов или по методу наибольшего правдоподобия.

Использование полученных таким образом значений параметров для вычисления членов статистической совокупности заданной ве­ роятности превышения непосредственно связано с выбором анали­ тической кривой распределения, наилучшим образом (в соответст­ вии с общими принципами, изложенными в главе II) соответствую­ щей эмпирическим данным.

В качестве параметров, определяющих конкретное очертание используемой аналитической кривой, принимаются полученные их эмпирические значения.

Таким образом, вычисленные по имеющимся статистическим вы­ боркам значения параметров выступают в форме приближенных оценок тех «истинных» параметров, которые отвечают гипотетиче­ ской генеральной совокупности. Использование этого принципа оценки параметров обеспечивает с точки зрения метода наимень­ ших квадратов наилучшее соответствие аналитической кривой эм­ пирической совокупности.

Возможен и другой путь определения параметров рассматривае­ мой статистической совокупности — с помощью эмпирической кри­ вой обеспеченности, без выполнения расчетов параметров по фор­ мулам (1.1), (1.16), (1.22), (1.27).

Однако и в случае использования этого приема необходимо ус­ тановить тип теоретического распределения, который можно при­ нять в качестве модели рассматриваемой статистической совокуп­ ности, ибо без этого задача установления параметров распределе­ ния становится неопределенной.

Таким образом, использование как аналитического, так и гра­ фического (графоаналитического) способов определения парамет­ ров кривых распределения в равной мере связано с решением этого важного вопроса. Различие состоит в том, что аналитический рас­ чет параметров по имеющейся статистической выборке приводит к единственному (однозначному) решению задачи — в соответствии с принципом наименьших квадратов.

154

Использование графических и графоаналитических приемов сводится к замене этого принципа глазомерной оценкой степени со­ ответствия проведенной через эту совокупность линии (эмпириче­ ской кривой) наблюденным данным (точкам). Очевидно, что по­ добное обобщение (сглаживание) эмпирических данных содержит известную неопределенность, обусловленную субъективностью вы­ полнения этой операции. В этом, конечно, заключается определен­ ный недостаток графического (и графоаналитического) метода оп­ ределения параметров распределения.

Вместе с тем графическое (и графоаналитическое) решение за­ дачи определения параметров обладает и определенными положи­ тельными свойствами. Это прежде всего простота и наглядность расчетных построений.

Графическая интерполяция статистических совокупностей на клетчатках вероятностей позволяет наглядно убедиться в соответ­ ствии принятой теоретической модели распределения эмпириче­ скому материалу, оценить влияние отдельных «выскакивающих» точек, уклоняющихся от общей закономерности, на общий вид рас­ пределения.

Наглядность графических построений позволяет более отчет­ ливо представить операцию приведения к длительному периоду па­ раметров эмпирической кривой распределения и т. д.

Имея в виду указанные положительные свойства графического приема обобщения эмпирических данных, необходимо вместе с тем отчетливо представлять, что соответствие какой-либо теоретической

Лишь совместный анализ общих свойств принятого закона рас­ пределения и степени соответствия его эмпирическим данным поз­ воляет в известной мере убедиться в адекватности, или тождествен­ ности, принятой теоретической кривой материалам наблюдений. Очевидно, что в случае наличия такой уверенности графическая кри­ вая обеспеченности, построенная на клетчатке вероятностей, спрям­ ляющей этот закон распределения, может быть экстраполирована для получения значений случайной переменной любой заданной обеспеченности и использована для определения параметров рас­ пределений графическим способом.

Здесь рассматриваются лишь те клетчатки вероятностей, кото­ рые могут найти применение в практике гидрологических расчетов. При этом используются уже в известной мере проверенные схемы построения этих клетчаток. Не рассматривая этот вопрос в целом,, заметим, что для выражения одного и того же закона распределе­ ния можно построить несколько внешне различающихся между со­ бой клетчаток, применяя всевозможные взаимно связанные преоб­ разования осей координат.

1 5 5