Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

где т изменяется от 1 до п. Теоретическая вероятность превыше­ ния каждого члена ряда при п->- оо выражается формулой

При выполнении гидрологических расчетов теоретическая веро­ ятность не известна, так как отсутствуют выборки сколь угодно большого объема. Эту характеристику статистического ряда при­ менительно к решению гидрологических задач не удается получить и из априорных положений, основанных, в частности, на оценке ус­ ловий проведения эксперимента.

Так например, при бросании монеты теоретическая вероятность выпадения «решки» или «орла» равна 0,5, что вытекает из условия однородности монеты, ее геометрически правильной формы и неиз­ менности условий проведения эксперимента.

Условия формирования величин, характеризующих' гидрологи­ ческий режим, много сложнее, и они отражаются в рассматривае­ мых статистических совокупностях в сложившейся интегральной форме. Очевидно, что в такой ситуации отсутствует возможность априорной оценки вероятности появления тех или иных гидрологи­ ческих величин.

Устанавливая эмпирические вероятности по выражению

когда п конечно, получаем оценку теоретической вероятности с не­

которой систематической погрешностью.

Формула эмпирической вероятности (3.2) дает приемлемые ре­ зультаты при не очень малом п и применительно к членам ранжи­

рованного ряда, расположенным в зоне, примыкающей к центру распределения. Для членов совокупности, занимающих последнее место в ранжированном ряду случайной переменной, при любом ко­ нечном значении п всегда будем иметь Рт =100%, а для первого

члена ряда Рт=\/п, что, конечно, является весьма грубой оценкой.

Для получения большего приближения эмпирической оценки обеспеченности к теоретическому ее значению предложено не­ сколько формул, рассматриваемых ниже:

формула А. Хазена

формула С. Н. Крицкого и М. Ф. Менкеля

157

Формула (3.3) заимствована из практики инженерно-гидрологи­ ческих расчетов США и использовалась в СССР до 1948 г., когда был утвержден ГОСТ 3999-48 по расчету максимальных расходов воды, в котором рекомендовалась формула (3.4).

Формула (3.3) предполагает замену ступенчатого графика эм­ пирической обеспеченности сглаженной кривой, проходящей через середины ступенек графика. Обеспеченность первого члена ряда по

гичной, и поэтому формула (3.3) в практике гидрологических рас­ четов в СССР в настоящее время не используется.

Сущность формул (3.4) и (3.5) вытекает из следующего ана­ лиза, выполненного Крицким, Менкелем [66, 70] и Алексеевым [2,

7, 8].

Любую генеральную совокупность случайной переменной (ха­ рактеризующей гидрологический режим), включающую Nn членов, можно представить состоящей из достаточно большого числа N ча­ стных совокупностей объемом в п членов. В таком случае рас­

сматриваемую генеральную совокупность можно записать в сле­ дующей форме ранжированных рядов:

кривых обеспеченностей. Каждая из этих кривых будет характери­ зовать обеспеченность Рт(х) рассматриваемой переменной хт среди совокупности Х т , 1 , Х т , 2 , . . ., Х т , jy.

Рассмотрим соотношения, существующие между обеспечен­ ностью величины Х т в генеральной совокупности Р(х) и обеспечен­ ностью величины Х т В совокупности Х т , 1 , Х т , 2 , . . ., Хт, ;у. Эту ОбвС- печенность обозначим через Рт(х) .

Искомое соотношение устанавливается на основе следующего известного из математической статистики положения: если веро­ ятность наступления некоторого случайного события при одно­ кратном испытании составляет Р (что в нашем случае соответст­ вует определению величины Р по генеральной совокупности), то при выполнении N независимых испытаний (что в нашем случае соответствует ряду хт, и хт,2, ..., хт, iv) вероятность появления со­

158

числу сочетаний из п по k.

Приведенное уравнение применительно к рассматриваемой за­ даче может быть получено из следующих рассуждений.

Явление превышения или непревышения рассматриваемой пере­ менной среди членов совокупности представляет независимые со­ бытия; поэтому по теореме умножения вероятностей р и 1 — р и по теореме сложения вероятностей всех возможных сочетаний из k пре­ вышений и 1 — k непревышений за п испытаний ровно k раз оно со­

ставит

получаем вероятности рт(р) превышения данной величины хт не менее т раз в пределах совокупности объемом п членов

Рт( Р ) = Ч т [ Р ( х ) |4-срш+ 1 [Я(л:)] + . . . + [Я(*)].

Поскольку сумма всех членов бинома (3.6) равна единице, веро­ ятности рт для значений т, близких к единице, т. е. для больших

членов выборки, занимающих в убывающем порядке первые, вто­ рые и т. д. места, проще вычислять по формуле

Так, для самых больших членов выборок (т= 1) получим

Для вторых по величине членов (т — 2) аналогичное выражение

запишется в виде

Р п - \ — 9 л - 1 ( л О + ' - Р л [ Я ( х ) ] ,

159

Таким образом, уравнения (3.8) — (3.11) устанавливают связь между обеспеченностью Рт членов ряда статистической совокупно­

сти вида

• X т , Ь -Ч м , 2» •X /n t 3> • • -Чгс, N>

где т изменяется от 1 до «, и искомой обеспеченностью Р величины х в генеральной совокупности.

Решая уравнения (3.9) и (3.11) относительно интересующих нас величин Р1 и Рп, имеем

(3.13)

Рп=(Рп)'/п. (3.14)

Чтобы воспользоваться полученными уравнениями для опреде­ ления вероятности Р, необходимо располагать определенными ука­ заниями о назначении величины р. Если рассматривать полученные

соотношения применительно к оценке обеспеченности расходов воды, то можно отметить, что в зависимости от водности рассматривае­ мого «-летнего периода вероятности pi, р%, ..., рп, вообще говоря, могут изменяться в пределах от 0 до 1 .

Следовательно, при наличии наблюдений только за один «-лет­ ний период решение становится неопределенным без использования некоторых дополнительных условий, приобретающих по смыслу за­ дачи уже нормативный характер.

Например, в качестве оценки обеспеченности Рт можно принять,

что рассматриваемый «-летний период по своей водности занимает медианное положение среди всех других «-летних периодов.

Из этого допущения вытекает, что величины

Р\=Р2= ■■■=Рт=- ■■■= Р „= 0,5 .

пустимой практической точностью воспроизводит соотношения, вы­ текающие из теоретических формул ■(3.15) и (3.16) для любого т-го члена выборки.

Если в качестве нормативной оценки обеспеченности Рт принять

обеспеченность математического ожидания (среднего значения) распределения Рт(х), то, по исследованию Е. Г. Блохинова [19],

160