Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

обеспеченностей в экстраполяционной зоне не остается иного пути, кроме использования тех или иных статистических схем распреде­ ления. Этот путь и был принят Калининым. Но в этом случае так называемые обобщенные кривые утрачивают самостоятельное практическое значение и могут рассматриваться лишь как дополни­ тельное эмпирическое подтверждение правильности использования некоторых статистических схем (в частности, биномиального за­ кона) для расчетов характеристик речного стока.

Следует также иметь в виду, что воплощенные в форме обоб­ щенных кривых обеспеченностей жесткие связи между коэффициен­ тами вариации и асимметрии свойственны определенной группе рек, использованных для получения этих кривых. В этом смысле аппроксимация рядов гидрологических характеристик аналитиче­ скими схемами применительно к свойственным данному статистиче­ скому ряду значениям параметров позволяет более полно учесть особенности отдельных рек.

§ 12

распределение, обобщающее статистические распределения с возрастающей функцией интенсивности

Используемые в гидрологии типы кривых распределения отно­ сятся к классу законов распределения с возрастающей функцией интенсивности (ВФИ).

Под функцией интенсивности понимается выражение

где Р (х ) — интегральная функция распределения.

стирания от 0 (при Р=100%) до оо (при Р ->0), то данный класс распределения относится к так называемому ВФИ-распределению.

Для проверки принадлежности применяемых в гидрологии кри­ вых распределения к классу ВФИ-распределения были рассчитаны по выражению (2.135) функции интенсивности г (х) трехпарамет­

рического гамма-распределения С. Н. Крицкого и М. Ф. Меикеля

(при С„'=0,1; 1,0 и CS = CV; CS = 2CV\ C„= 3CDи Cs= iC v, логариф-

Имея в виду задачи гидрологических исследований, важно под­ черкнуть, что ВФИ-распределение имеет пределы простирания от нуля до бесконечности.

Р. Барлоу и Р. Прошан Г ВФИ-распределение отличается от обычно используемых рас­

пределений тем, что оно, являясь предельным, может быть задано верхней и нижней границами. Между этими границами распола­ гаются все теоретические функции распределения с возрастающей функцией интенсивности. В этом отношении рассматриваемое рас­ пределение свободно от каких бы то ни было ограничений, связан­ ных с условиями формирования случайной переменной. Заметим, что границы ВФИ-распределения не имеют ничего общего с дове­ рительными границами эмпирической кривой распределения, кото­ рые обусловлены ограниченным объемом рассматриваемых выбо­ рок.

ВФИ-распределение, вообще говоря, может быть с любым чис­ лом свободно назначаемых параметров. Однако в настоящее время достаточно полно теоретически разработаны схемы с одним и двумя

Между верхней и нижней границами ВФИ-распределения с од­ ним параметром (т. е. при известном только среднем арифметиче­ ском значении) заключены все различные типы кривых распределе­ ния с возрастающей функцией интенсивности при всевозможных со­ четаниях моментов выше первого.

Аналогичным образом в границах ВФИ-распределения с двумя свободно назначаемыми параметрами заключены все кривые рас­ пределения рассматриваемого класса при произвольно задаваемых моментах выше второго.

Границы ВФИ-распределения во втором случае, зафиксирован­ ные двумя моментами, будут, естественно, охватывать более узкий диапазон, в пределах которого располагаются кривые распределе­ ния рассматриваемого класса по сравнению с диапазоном, соответ­ ствующим ВФИ-распределению с одним назначаемым параметром (средним значением).

1 Математическая теория надежности, 1969, «Советское радио», с. 488.

148

Т а б л и ц а 2.14

Ординаты интегральной кривой двухпараметрического ВФИ-распределения

(х=1)

с V

Приведем итоговые выражения для границ ВФИ-распределения с одним (среднее арифметическое) и двумя (среднее арифметиче­ ское и среднее квадратическое отклонение) параметрами.

Верхняя граница ВФИ-распределения с одним известным на­ чальным моментом тг имеет вид

I при л: ^ m JT

В частном случае при г —1 (известно только среднее арифмети­

ческое) верхняя граница ВФИ-распределения представляется вы­ ражением

где со зависит от k и удовлетворяет условию

149

Верхняя граница для ВФИ-распределения при известном сред­ нем арифметическом представлена в табл. 2.13.

Верхняя граница для ВФИ-распределения с двумя известными моментами (средним арифметическим и стандартом) имеет вид:

где а (О ^ а ^ 1) удовлетворяет условию

а параметр од определяется из уравнений:

для некоторого a ^ a i при k, удовлетворяющем условию (2.141). Значения b и со находятся из уравнений:

-Ь ( Л — ш ) 1

k

с 1 - \ - \ = « ? + 2 е ~ Ьш j xebxdx.

Верхняя граница ВФИ-распределения для двух назначаемых

параметров (х и Cv) в виде ординат интегральных кривых распре­

деления (кривых обеспеченностей), т. е. в форме, обычно исполь­ зуемой в гидрологии, представлена в табл. 2.14.

Рассмотрим ограничения, которые накладываются на ВФИ-рас-

пределение с двумя свободно назначаемыми параметрами (х, С„).

Верхняя оценка г-ного начального момента ВФИ-распределения имеет вид

150