Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

исходных рядов распределение выборочных средних приблизи­ тельно нормально.

Оценим однородность рядов наблюдений, включающих соответ­ ственно пх и п у членов. Предполагается, что эти ряды являются

выборками из нормально распределенной генеральной совокупно­ сти. В таком случае за критерий проверки однородности средних значений можно принять величину (критерий г)

В качестве нулевой гипотезы естественно принять х = у. Исполь­

зуя в соответствии с исходным условием нормальный закон рас­

пределения, легко получить критические области для \х — у | при

принятом уровне значимости.

В качестве примера сопоставим средние значения превышений поверхности верхового болота (Ламмин-Суо) над условным уров­ нем в грядово-мочажинном и сосново-кустарничково-сфагновом микроландшафтах по данным 900 измерений в каждом микроланд­ шафте.

Средние значения для грядово-мочажинного комплекса оказа­ лись равными х=20,28 м, а для сосново-кустарничково-сфагнового

микроландшафта г/= 10,34 м.

Нулевой гипотезой будем считать х = у, а в качестве альтерна­

тивной примем х ф у . За критическую область принимаем область больших по абсолютному значению отклонений (область III на

рис. 4.1).

Средние квадратические отклонения для сопоставляемых рядов наблюдений равны аж= 8,6 м и оу = 4,6 м. По формуле (4.2) опре­

деляем о ---- ,

<x-v)

большое количество членов (900 измерений). В таком случае, ис­ пользуя таблицу нормального закона распределения и задаваясь

192

уровнем значимости, например, равным 5%, определим область до­ пустимых отклонений, границами которой будут величины норми­ рованных отклонений при нормальном законе распределения и принятом уровне значимости, равную —1,96 и 1,96. Критическая область будет расположена по обе стороны от этих границ (>1,96

оказывается заключенным в ней. В таком случае нулевая гипотеза должна быть отвергнута и принимается альтернативная гипотеза

хФу.

При использовании рассматриваемого критерия предполагалось, что измеренные величины превышения поверхности болотных мик­ роландшафтов корреляционно не связаны как внутри микроланд­ шафта, так и между ними. Отсутствие корреляционной связи между высотами поверхности разных микроландшафтов следует из общих представленией о формировании рассматриваемого рельефа. Учи­ тывая то обстоятельство, что измерения поверхности микроланд­ шафта производились по профилю достаточно часто (через 10 см), можно было ожидать значительной внутрирядной корреляции вы­ сот поверхности болота, что и подтвердилось расчетами. Поэтому вывод о неоднородности средних высот поверхности разных болот­ ных микроландшафтов, полученный без учета внутрирядной корре­ ляции, следует считать предварительным.

Неравенство средних превышений поверхности болота над ус­ ловным уровнем соответствует принятому в настоящее время физи­ ческому представлению о формировании микроландшафтов на бо­ лотных массивах.

Рассмотренный критерий оценки однородности средних значе­ ний целесообразно использовать при наличии рядов наблюдений, включающих достаточно большое число членов, когда имеется воз­ можность определять средние квадратические отклонения без зна­ чительной ошибки. В случае когда на однородность средних значе­ ний должны проверяться короткие ряды наблюдений, можно ис­ пользовать критерий Стьюдента. Однако при этом необходимо иметь в виду, что применение его правомерно только в том случае, когда равны средние квадратические отклонения генеральных сово­ купностей рассматриваемых рядов: ах= оу= а.

Приемы оценки имеющихся рядов наблюдений в отношении ра­

гипотезы х = у с использованием критерия Стьюдента следует опре­ делять критическую область при q% -ном уровне значимости как

Стьюдента, приведенной, например, в работе [89].

Для иллюстрации изложенного рассмотрим вопрос об однород­ ности рядов средних значений годового стока р. Волги у г. Ярос­ лавля до и после (1940 г.) создания водохранилища, осуществляю­ щего сезонное регулирование стока и расположенного выше этого створа. Среднее значение годового стока за первый период (1877—

стве альтернативной х > у . Средние квадратические отклонения со­

Сопоставление величин t и tq,h показывает, что даже при доста­ точно большом уровне значимости, равном 5%, \tq,ь| > \t\, и, сле­

довательно, оцениваемые ряды не могут рассматриваться как неод­ нородные. В таком случае нулевая гипотеза признается, альтерна­ тивная отвергается. За критическую область в данном случйе принималась область больших по абсолютному значению откло­ нений.

Следовательно, Рыбинское водохранилище, осуществляющее сезонное регулирование стока, не оказало влияния на величину среднего годового стока, а имеющиеся различия в средних значе­ ниях за рассмотренные периоды могут быть отнесены за счет слу­ чайных колебаний, свойственных рядам ограниченной продолжи­ тельности.

Рассмотренный выше критерий Стьюдента однородности сред­ них значений относится к числу параметрических, поскольку его использование связывается с необходимостью принятия для рас­ сматриваемой выборки нормального закона распределения.

Из числа непараметрических критериев оценки однородности средних в гидрологических исследованиях получил применение пре­ имущественно критерий однородности Вилькоксона и критерий знаков. Критерий Вилькоксона часто понимают как критерий при-

1 9 4

иадлежности двух выборок к одной и той же генеральной совокуп­ ности. Фактически этот критерий достаточно чувствителен по отно­ шению к выборочным средним и почти не реагирует на изменение выборочных дисперсий. Поэтому точнее рассматриваемый критерий распространять на оценку однородности выборочных средних. Кри­ терий Вилькоксона основан на подсчете числа так называемых ин­ версий, которые выявляются в результате следующей процедуры.

Наблюдения, составляющие две выборки (например, получен­ ные в двух сравниваемых пунктах), располагаются в общей после­ довательности в порядке убывания (или возрастания) их значений, например, в виде

yi-XiX2y2y3y4x 3y5y6x 4,

где xi, ..., Xk — члены, принадлежащие первой выборке; у\, ..., уъ —

члены второй выборки.

Если какому-либо значению х предшествует некоторое значение у, то говорят, что эта пара образует инверсию. Так, в рассматри­ ваемой последовательности х\ и х2 образуют по одной инверсии с yi; х3 образует четыре инверсии (с у4, у3, у2 и у i) и х4 дает шесть инверсий (с уе, уъ, уь Уз, Уг и yi). Всего инверсий в данном случае будет и = 1+ 1 + 4 + 6=12. Теоретически доказано, что в однородных

рядах, каждый из которых представлен выборкой объемом не ме­ нее 10 членов, число инверсий распределено приблизительно по нор­ мальному закону с математическим ожиданием

где п и т — число членов первой и второй выборки. В качестве ну­ левой гипотезы, учитывая сказанное в начале настоящего раздела относительно возможностей рассматриваемого критерия, примем гипотезу принадлежности выборочных средних к одной генераль­

ной совокупности (х = у ). Теперь необходимо выбрать границу до­

пустимых значений, выделяющую критическую область. Задавшись уровнем значимости <7= 0,1; 1,0; 5% и т. д., выделяем область боль­

ших по абсолютной величине отклонений, вероятность попадания в которую в случае, когда гипотеза однородности верна, в точности равна уровню значимости. Тогда вероятность попадания в область

допустимых значений при справедливости нашей гипотезы будет

Р=(100—?)%. (4.6)

Вероятность р называется уровнем доверительной вероятности. Если значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, окажется в критической области, то нулевая гипотеза однородно­ сти бракуется, и с вероятностью Р принимается альтернативная

гипотеза неоднородности.

Если же значение критерия окажется в области допустимых от­ клонений от математического ожидания, то можно еще утверждать, что нулевая гипотеза подтверждается.

Критическая область для нулевой гипотезы однородности будет область больших по абсолютной величине отклонений:

Отметим, что критерий однородности Вилькоксона отвечает за­ даче сравнения только двух выборок (рядов наблюдений) либо применяется для попарного сравнения выборок в S пунктах наблю­ дений некоторого предполагаемого однородным региона. Известные обобщения этого критерия для случая более двух выборок отлича­ ются большой громоздкостью и сложностью. Стремление к мате­ матической точности сильно усложняет расчет статистики крите­ риев и ее критических значений. Это затрудняет применение таких критериев и делает их малоэффективными. Так, например, крите­ рий Крускала—Уолиса может быть применен только для случая не более трех выборок при объеме этих выборок не более пяти.

Проиллюстрируем использование критерия Вилькоксона для оценки однородности наибольшего в году стока р. Волги у г. Яро­

Подсчитаем число инверсий

и= 5 7 • 1+ 64 • 14=953.

По формулам (5.4) и (5.5) рассчитаем Ми и Du:

Mu= 64 g--—=480,

Du= - ^ 2^-(64+ 15+1)=6400,

au= / D + = /6 4 0 0 = 8 0 .

1 Для упрощения подсчетов исходные величины уменьшены в 10 раз.

196