Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

(1940 г.) по критерию Стьюдента, использование которого предпо­ лагает равенство средних квадратических отклонений рассматри­ ваемых рядов. Напомним, что за период наблюдений с 1877 по 1940 г. среднее квадратическое отклонение оказалось равным ау=

средних квадратических отклонений существенными, или их можно отнести за счет случайных флуктуаций ограниченных по объему выборок из некоторых генеральных совокупностей. За нулевую ги­ потезу примем о2 = q2 .

Для оценки однородности средних квадратических отклонений воспользуемся критерием F. По формуле (4.11) определяем

предположение о равенстве средних квадратических отклонений не противоречит наблюденным данным о годовом стоке р. Волги у г. Ярославля.

Используем критерий F для оценки однородности средних квад­

ратических отклонений наибольших в году расходов воды в створе р. Волги, у г. Ярославля до и после создания Рыбинского водохра­ нилища, осуществляющего сезонное регулирование стока.

сматриваемых периодов точно такое, как и для годового стока, по­ лучаем ki = 63 и *2 = 14. Следовательно, критические значения F1(p

при 10 и 2%-ных уровнях значимости будут такими же, как и в пре­ дыдущем примере, и равны F 10%= 2,23 и F 2%=3,18.

Полученное значение /■’-критерия, равное 4,22, даже при 2%-ном уровне значимости лежит в критической области (FKp< F ).

Из этого следует, что эмпирические средние квадратические откло­ нения получены из разных генеральных совокупностей и не могут

201

быть признаны однородными. Иначе говоря, принятая ранее нуле­ вая гипотеза отвергается, а признается альтернативная гипотеза о неоднородности средних квадратических отклонений максималь­ ного стока до и после создания Рыбинской ГЭС.

При анализе гидрологических данных часто приходится оцени­ вать однородность эмпирических средних квадратических отклоне­ ний по совокупности большого количества рядов наблюдений.

В качестве упрощенного критерия проверки однородности ряда средних квадратических отклонений можно использовать G2-Kpirre- рий, который представлен отношением

отклонений; оi, 02....... ok — рассчитанные по наблюденным данным

средние квадратические отклонения.

Данный критерий однородности применим, когда рассматривае­ мые наблюденные ряды имеют один и тот же объем. В монографии

[89]приведено распределение критерия G2Kp при числе выборок k

ичисле наблюдений в каждой выборке п при 5 и 1%-ных уровнях

значимости. Критическая область будет G2p < G 2.

Вкачестве примера использования критерия (4.12) оценим од­ нородность дисперсий запасов воды в снежном покрове по данным,, приведенным в табл. 4.1,

О2 = __________ ________ ____ .—о 98

стимых значений, и следовательно, дисперсии рассматриваемых ря­ дов признаются однородными.

В заключение применим рассмотренные различные критерии оценки однородности к одним и тем же материалам о максималь­ ных расходах воды. Определение наибольшего в году расхода воды заданной вероятности превышения относится к числу весьма рас­ пространенных задач гидрологических расчетов. В том случае, когда исходный ряд не вызывает сомнений относительно однород­ ности включенных в него величин, эта задача решается путем по­ строения кривой обеспеченности, опираясь на всю имеющуюся вы­ борку (совокупность). Такая ситуация, например, имеет место в том случае, если ряд сформирован из фазово-однородных вели­ чин, относящихся к весеннему половодью или, наоборот, целиком к категории дождевых паводков.

Сказанное, конечно, справедливо при отсутствии других причин, нарушающих состояние однородности исходных данных (напри­ мер, регулирование стока водохранилищем или иных односторонне направленных воздействий).

202

Однако встречаются случаи, когда в одном и том же створе на­ блюдений максимальные расходы воды в одни годы формируются за счет снеготаяния, а в другие — за счет дождей. Такое различие в условиях формирования может обусловить статистическую неод­ нородность исходного ряда наблюдений. Это осложняет задачу по­ строения кривой обеспеченности по всей выборке, поскольку анали­ тические функции распределения, рассмотренные в главе II, как и вообще все теоретические функции распределения, предназначены для описания статистически однородных совокупностей.

В подобных ситуациях (не только, конечно, применительно к статистической выборке, составленной из величин максимальных расходов воды), когда не имеется априорной уверенности в одно­ родности исходных данных, необходимо оценить их в отношении однородности. В случае если гипотеза однородности не подтверж­ дается, кривая обеспеченности, пригодная для всей (неоднородной) совокупности, может быть получена на основании композиции одно­ родных частей (двух, трех, а возможно, и более), выделяемых в пределах неоднородной совокупности. Прием такого построения изложен в следующем разделе настоящей главы.

Для примера рассмотрим максимальные годовые расходы воды р. Стрый у г. Турка и р. Абава у х. Сисени, приведенные в табл. 4.2. Из этих данных видно, что максимальные расходы воды в рассмат­ риваемых створах в одни годы сформированы в результате весен­ него снеготаяния (отмеченные скобками), а в другие годы — за счет дождей. По этому признаку каждая выборка может быть разде­ лена на две части. На р. Стрый максимальные годовые расходы воды в течение 43 лет наблюдений 24 раза формировались в весен­ ний период и 19 раз — в летне-осенний; на р. Абава весенние рас­ ходы наблюдались 20 раз, а дождевые — 15 раз.

Для выделенных совокупностей весенних и летне-осенних мак­ симальных расходов воды были вычислены параметры распределе­ ния, приведенные в табл. 4.3.

Выясним, относятся ли полученные значения параметров к од­ нородным или неоднородным совокупностям.

Применяя критерий Фишера, оценим в отношении однородности величины средних квадратических отклонений:

для р. Стрый

203

Т а б л и ц а 4.2

Исходные данные по максимальным годовым расходам воды р. Стрый у г. Турка и р. Абава у х. Сисени

него половодья.

204

Т а б л и ц а 4.3

Параметры статистических выборок снеговых и дождевых максимальных расходов воды

ласть при 5%-ном уровне значимости попадают значения критерия F, большие, чем полученные нами. Это значит, что в рассматривае­ мом случае критерий однородности F попадает в область допусти­

мых значений. Следовательно, исходная нулевая гипотеза, заклю­ чающаяся в признании однородности дисперсий максимальных рас­ ходов воды весеннего половодья и дождевых паводков, в данном случае не противоречит наблюденным данным и может быть при­ нята, по крайней мере, до тех пор, пока новые экспериментальные данные ее снова подтвердят или опровергнут.

Перейдем к оценке однородности средних значений рассматри­ ваемых рядов, отметив при этом, что в рассматриваемых совокуп­ ностях отсутствует внутрирядная корреляция и корреляция между выделенными совокупностями максимального дождевого стока и стока весеннего половодья применительно к каждому рассматри­ ваемому створу.

Для решения вопроса об однородности средних воспользуемся критерием Стьюдента. При использовании этого критерия, как ука­ зывалось выше, требуется соблюдение однородности дисперсий и нормальность законов распределения исходных рядов наблюдений.

Условие однородности дисперсий было установлено выше. Усло­

лишь подчеркнем, что использование непараметрических критериев, свободных от вида исходного распределения, подтверждает выводы, полученные по критерию Стьюдента. Это свидетельствует о том, что имеющееся уклонение от нормального закона в данном случае яв­ ляется не столь существенным, чтобы оказать влияние на конечные выводы при оценке однородности средних с использованием кри­ терия Стьюдента.

205