Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

Определим критическую область для нулевой гипотезы, т. е. тождественности распределения средних значений максимального стока р. Волги у г. Ярославля до и после создания Рыбинской ГЭС. Зададимся 1%-ным уровнем значимости и по таблице, приведен­ ной в работе [89], найдем ^р = 2,58 при р = 0,05, так как рассматри­

вается двухсторонняя доверительная граница. Согласно уравне­ ниям (4.7) и (4.8), получим критические области для

480 -2,58 • 80=274,

480 + 2,58 • 80=686.

Полученное значение и= 953 лежит в критической зоне, и по­ этому выборочные средние максимального стока до и после созда­ ния Рыбинской ГЭС относятся к различным генеральным совокуп­ ностям.

Оценку принадлежности двух выборочных средних к одной ге­ неральной совокупности можно произвести по критерию знаков. Так же, как в предыдущем случае, за нулевую гипотезу примем принадлежность выборочных средних распределения двух иссле­ дуемых рядов к одной генеральной совокупности. В таком случае разности Хг — yi = Ri, в которых учитывается лишь их знак, дол­

жны быть распределены симметрично около нуля. Вероятность по­ явления знака плюс или минус одна и та же и равна '/г. Следова­ тельно, уклонение наблюденных разностей (с учетом лишь их знака) от !/г будет указывать на невыполнение нулевой гипотезы. Критическое значение для наименьшего числа случаев положитель­

ных или отрицательных уклонений определяется по формуле

/

где N — число членов сравниваемых рядов; k — величина, опреде­

ляемая по специальной таблице в соответствии с принятым уровнем значимости [89].

Практическое использование данного критерия довольно про­ сто. Однако необходимо отметить, что он не полностью использует всю информацию, заключающуюся в рядах наблюдений, так как учитывает лишь знак разности двух величин. Его достоинством яв­ ляется отсутствие каких бы то ни было ограничений о законах рас­ пределения исследуемых рядов и его простота. При использовании данного критерия сопоставляемые ряды должны иметь одинаковый объем наблюдений.

Сопоставим данные о высоте снежного покрова с точки зрения

Сравнение этих рядов показало, что в 26 случаях высота снежного покрова в поле была больше, чем в лесу + + + ), а в 76 случаях — меньше +г (—).

197

По формуле (4.9) определяем критическое значение для мень­ шего числа случаев (26)

Вслучае неоднородности

+( ± ) < m /v, к.

апри однородности рядов

k v { ± ) > m N<ft.

В рассматриваемом примере kN ( + )= 26, a mNt = 41, следова­

тельно, рассматриваемые ряды высот снежного покрова в поле и лесу неоднородны.

Сколько-нибудь подробно на других непараметрических крите­ риях однородности не останавливаемся, так как довольно полное их изложение приведено в работе [137]. Здесь же лишь подчерк­ нем, что многочисленные критерии однородности, как правило, при­ водят к одним и тем же выводам, так как они во многом взаимоза­ висимы. Одни из этих критериев более эффективны за счет более полного использования исходной информации и наложения допол­ нительных условий на исходные данные (параметрические крите­ рии), другие менее эффективны, но зато более просты и, что самое главное, менее требовательны к условиям, накладываемым на ис­ ходную информацию (непараметрические критерии). Систематиче­ ское и достаточно полное изложение критериев однородности при­ водится, например, в книге Ван дер Вардена [31].

В практике гидрологических исследований довольно часто тре- - буется оценить однородность большого числа средних выборочных значений для обоснования, например, правомерности объединения подобных выборок в одну совокупность.

В таких случаях, кроме определения однородности средних зна­ чений, требуется оценить однородность коэффициентов вариации и асимметрии.

В данном же случае решается вопрос, насколько существенны расхождения между выборочными средними, или они могут быть объяснены лишь случайными колебаниями средних значеций за счет ограниченности выборок.

В качестве критерия используем отношение, которое распреде­ лено по закону Стьюдента с числом степеней свободы k — n — 2

, Ут / ' ” (« -2 )

(4.10)

У п — т — ту2т

где ут= — ‘+ —-; хт— среднее выборочное значение по т наблю­

дениям, наиболее уклоняющееся от среднего значения всей объеди-

198

ненной совокупности; х — среднее значение всей совокупности k

из п наблюдений; n = 2 ] mt.' сг— среднее квадратическое отклоне-

1

ние по всей совокупности данных.

Для характеристики однородности средних выборочных значе­

ний хт обычно выбирают наибольшее значение ут, и если пара­ метр t при данном ут попадает в область допустимых значений при

данном уровне значимости q, то все выборочные средние хт при­

знаются однородными. В противном случае это наибольшее зна­ чение признается неоднородным по отношению ко всей совокупно­ сти данных, и при необходимости исследуется на однородность следующее наибольшее значение хт.

Применение рассматриваемого критерия для оценки однородно­ сти нескольких рядов требует предварительной оценки однородно­ сти дисперсий.

В качестве примера рассмотрим однородность рядов, характери­ зующих запас воды в снежном покрове на лесных участках в бас­ сейне р. Шелони, измеренных на пяти маршрутах. На каждом мар­ шруте измерения производились в восьми точках.

Средние значения запасов воды в снеге на каждом маршруте и дисперсии приведены в табл. 4.1.

Т а б л и ц а 4.1

Средние значения и средние квадратические отклонения запаса воды в снеге по маршрутам

Общее среднее значение для всей совокупности, по (1.6), равно

104 мм.

Общая дисперсия может быть определена по формуле (1.18) вида

икритерий Стьюдента

,0,30 у 5 (40 - 2)

—/ 4 0 - 5 - 5 • 0.302

199

По таблице (см. работу [89]) определяем критическое значение t при 5%-ном уровне значимости / 5%= 1,96. Величина критерия

^= 0,71 оказалась меньше критического значения при 5%-ном уровне значимости, и, следовательно, средние значения рассматри­ ваемых рядов однородны.

Оценка однородности дисперсий этих рядов приведена в сле­ дующем разделе.

4. критерии оценки однородности средних квадратических отклонений

Как отмечалось выше, при оценке однородности средних выбо­ рочных значений по методу Стьюдента необходимо убедиться в ра­ венстве средних квадратических отклонений тех генеральных сово­ купностей, представителем которых являются выборки в форме рядов гидрологических величин. Необходимость такого анализа во­ зникает и при объединении рядов гидрологических величин или их параметров в одну совокупность или когда, например, необходимо выяснить, вызвало ли регулирование стока изменение среднего квадратического отклонения ряда и т. д.

В настоящее время известно немало критериев для оценки од­ нородности среднего квадратического отклонения. В гидрологиче­ ских работах использовались лишь некоторые из них, и в частно­ сти критерий Фишера (F) в виде

где ох и Оу—средние квадратические отклонения, вычисленные по

рядам, в отношении которых делается предположение, что они под­ чинены нормальному закону распределения. Это обстоятельство не­ сколько суживает возможность рассматриваемого критерия. Од­ нако при небольшой асимметричности рядов критерий Фишера обычно применяется.

В числителе выражения (4.11) используется большее среднее квадратическое отклонение из двух исследуемых рядов. Распреде­ ление Фишера зависит от числа степеней свободы &i= n i— 1 и ko— = пг — 2, где п\ и на— число членов в каждом из рассматриваемых

рядов.

Для определения критических значений Fh используют таблицы

распределения Фишера, приведенные, например, в работе [89]. Рассматриваемый критерий является параметрическим, так как

он требует нормального закона распределения исходных рядов. Из пепараметрических критериев можно упомянуть критерий Сигеля и Такея. Содержание этого критерия изложено, в частности,

в книге [137].

200