Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

95%-ной надежностью следует рассматривать как ряды, не согла­ сующиеся с предположением о чисто случайном чередовании обра­ зующих их элементов (членов ряда).

Для иллюстрации высказанного положения рассмотрим ряд среднегодовых расходов воды р. Шилки у г. Сретенска. В этом ряду наблюдалась одна серия, включающая 11 элементов (/?i,n=l). Из данных табл. 4.9 следует, что хотя бы одна серия из одного и того же элемента длиной 6 = 11 может наблюдаться с 5%-ным уров­ нем значимости в последовательности случайных чисел, состоящей из 230 членов. Период же наблюдений над годовым стоком р. Шилки у г. Сретенска включает 68 лет.

Следовательно, гипотеза случайного чередования среднегодовых расходов воды в рассматриваемом створе не может быть принята при 5%-ном уровне значимости. Эта гипотеза может пройти при значительно меньшем уровне значимости.

К аналогичному выводу приходим, рассматривая возможность одновременного наступления серий Ritц=1 и ^2,9 = 2. Согласно дан­

ным табл. 4.11, эти серии проявились в течение 68-летнего периода наблюдений на р. Шилке. Применительно к совокупности случай­ ных чисел, как следует из данных табл. 4.9, появление такого соче­ тания серий при 5%-ном уровне значимости следует ожидать лишь в ряду случайных чисел, включающем 230 членов.

Выполнив подобным образом анализ данных табл. 4.11 и по дру­ гим рекам, легко установить, что рассматриваемые ряды по крите­ рию наибольшей длины серий не могут рассматриваться как лишен­ ные внутрирядной связанности.

Для оценки свойств ряда годового стока р. Сакмары примем во внимание следующие соображения. Из данных табл. 4.11 следует,

с данными табл. 4.9 устанавливаем, что подобная ситуация при 5%-ном уровне значимости может иметь место в ряду случайных чисел при п = 48. И следовательно, как будто есть основание рас­

сматриваемый ряд, включающий 80 лет наблюдений, отнести к ка­ тегории случайных. Предполагая равновозможность появления се­ рии из элементов «а» или серии из элементов «б», оценку случайно­ сти рассматриваемого ряда следует производить по числу лет, в течение которых могут иметь место одновременно серии из эле­ ментов «а» и «б». В соответствии с данными табл. 4.9 появление R1,8 и Rot один раз и более может осуществляться в случайном ряду,

включающем 120 членов. В таком случае и в данном примере нет оснований рассматриваемый ряд считать лишенным внутрирядной связанности, т. е. полностью случайным, конечно, при принятом 5%-ном уровне значимости. Критерий длины серий можно приме­

234

где P(Ri, k ^ l ) — вероятность встретить в п наблюдениях хотя бы одну серию из элементов «а» или «б» наибольшей длины k.

Из данных, приведенных в табл. 4.12, следует, что вероятность встретить в рядах годового стока серии достаточной длительности (считая их чередование случайным) мала (порядка 1—3%). Следо­ вательно, выполнение условий случайности чередования членов в рассматриваемых рядах годового стока привело бы к тому, что наибольшие наблюдаемые серии маловодных или многоводных лет наблюдались бы примерно в одном из 30 или 100 рядов годового стока. Фактически такие серии имеют место в каждом ряду. По­ этому гипотеза случайности рядов годового стока должна быть от­ вергнута. Таким образом, выводы, вытекающие из закона распре­ деления Пуассона, совпадают с ранее полученными заключениями по числу и длительности серий.

Т а б л и ц а 4.12 Вероятность возникновения наблюденных серий наибольшей длительности

Эта формула получена из уравнения (4.22), где К — наибольшая длина серии элементов «а» или «б» в ряде, включающем п членов, при заданном уровне значимости р (в долях единицы). Значение р представляет собой вероятность, с которой в ряде, включающем п

членов, можно встретить хотя бы одну серию элементов «а» или «б» длиной К и больше.

Для сопоставления с данными табл. 4.10 зададимся вероят­ ностью р = 0,05, или 5%, и вычислим наибольшую возможную длину серий за фактическое число лет наблюдений п (табл. 4.13). Оценку

случайности рассматриваемых рядов можно осуществить по общему числу серий с помощью данных табл. 4.10. Из этой таблицы

235

следует, что в чисто случайном ряду, включающем, например, 100 членов, с вероятностью 5% можно ожидать 42 серии, с вероят­ ностью 2,5% — 40 серий и т. д.

Рассматривая представленные в табл. 4.11 ряды, легко установить, что общее число фактических серий каждого ряда характери­ зует их не как чисто случайные, т. е. такие, на внутреннюю струк­ туру которых оказывают влияние некоторые постоянно действую­ щие факторы. К числу этих факторов, например, можно отнести переходящие из года в год влагозапасы в бассейне, которые осуще­ ствляют естественное регулирование речного стока. Так, в много­ водные годы происходит пополнение влаги в бассейне, которая рас­ ходуется в годы меньшей водности. Чем выше зарегулированность

и др., с более значительными многолетними колебаниями, с точки зрения рассматриваемых критериев, ближе стоят к чисто случай­ ным совокупностям.

Т а б л и ц а 4.14 Наблюденные и теоретически рассчитанные числа серий с вероятностью 5%

2 3 6

Приведенные в табл. 4.14 данные об общем числе серий, кото­ рые можно встретить с различной вероятностью, рассчитаны по формуле

где п — число членов ряда; uq— нормированное уклонение от сред­ него случайной величины R, распределенной по нормальному за­ кону при <7 %-ном уровне значимости.

По этой формуле можно рассчитать наименьшее число серий при зафиксированном периоде наблюдений п и 5%-ном уровне значи­

мости. Результаты такого расчета представлены в табл. 4.14.

Из данных табл. 4.14 следует, что в 8 случаях из 10 число серий в фактических рядах годового стока оказалось больше, чем в ря­ дах, чисто случайных с 5%-ной вероятностью их появления.

Таким образом, при указанном уровне значимости оценка по критерию числа серий также подтверждает, что элементы, форми­ рующие рассматриваемые ряды, имеют тенденцию к группирова­ нию в большей мере, чем это характерно для чисто случайных рядов.

Рассмотрим еще критерий, основанный на способе последова­ тельности разностей, или так называемое отношение Неймана, сущ­ ность которого заключается в следующем.

Имея последовательность п наблюдений xi, хг, Хз....... хп, можно

Формулы (4.25) и (4.26) для вычисления а2 по данным выборки неодинаково реагируют на изменение среднего в различных выбор­ ках из генеральной совокупности.

Предположим, например, что за период наблюдений среднее зна­ чение рассматриваемой величины постепенно меняется, но рассея­ ние членов ряда (дисперсия) относительно изменяющейся средней остается постоянным. В этом случае оценка о2 генеральной совокуп­ ности по формуле (4.26) дает заметное преувеличение, так как ва­ риация самой средней входит как составная часть в а2. Иным обра­

зом такое плавное, постепенное изменение среднего скажется на величине а2.. Если изменения средней происходят достаточно

плавно и медленно, так что за промежуток между двумя последо­

237

вательными сериями наблюдений (рядами) ее прирост мал по срав­ нению с о, то это изменение мало скажется на последовательных разностях, а следовательно, и на величине а2 . Иначе говоря, вели­

чина <т^ достаточно ясно реагирует на плавные изменения среднего

значения сопоставляемых рядов, которые наблюдаются, например, при монотонном его росте или уменьшении, при циклических коле­ баниях среднего и т. д.

С одной стороны, если в последовательности значений перемен­ ной величины хi имеет место направленное изменение среднего зна­ чения (или циклические колебания среднего), то параметр а2, все­

С другой стороны, чем более резкими и систематичными будут от­ клонения от среднего значения, тем больше будут значения 6. В пре­ деле при последовательности двух чисел, чередующихся между со­ бой, 6= 2 . Отсюда следует, что математическое ожидание величины 6 при условии стохастической независимости рассматриваемых со­ вокупностей равно единице.

Плавное изменение среднего значения стока, например, можно ожидать в результате осуществления агролесомелиоративных меро­ приятий на водосборе. Циклические же колебания среднего значе­ ния гидрологических рядов связываются с подобными колебаниями геофизических (в частности, метеорологических) факторов стока.

Таким образом, если нужно проверить гипотезу «случайности» выборки, то целесообразно использовать рассматриваемый крите­ рий 6 (отношение Неймана).

Представление о сущности рассматриваемого критерия случай­ ности можно получить и на основании следующего преобразования:

г(т) — нормированная автокорреляционная функция.

238