Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 217
Скачиваний: 0
На рис. 4.8 представлена интегральная кривая распределения (кривая обеспеченности) модульных коэффициентов годового стока в рассматриваемом створе и принятая теоретическая функция рас
пределения. Параметры распределения (х = 9,12; = 0,171; |
Cs = |
= 0,16) определены методом моментов. Как видно на рис. 4.8, |
отме |
чается вполне удовлетворительная сходимость эмпирической и ана литической кривых распределения.
При использовании критерия %2 необходимо представить стати стическую совокупность в сгруппированном виде. Причем, это груп пирование можно осуществить с равномерными и неравномерными интервалами так, чтобы и количество интервалов было бы не слиш ком мало, и число попадания случайной переменной в каждый ин тервал было бы достаточно велико. Рекомендации по выбору числа интервалов в зависимости от объема исходной совокупности при
ведены в главе I. |
х2при 5%-ном уровне значимости |
При использовании критерия |
в работе Е. С. Кипинга [137] рекомендуется назначать оптимальное число градаций около 20 при объеме выборок от 200 до 400 членов, около 30 при объеме выборок в 1000 членов и около 8—9 при объеме выборок в 50 членов. При этом отмечается, что объем выборок в по следнем случае слишком мал для обоснованного использования критерия х2-
При использовании данного критерия целесообразно выбирать неравномерные интервалы так, чтобы теоретическая вероятность попадания случайной переменной в каждый интервал была посто янная. Назначим число интервалов равным 10. Тогда границы ин тервалов легко определятся исходя из принятой теоретической кри вой обеспеченности. Для этой цели разбиваем весь интервал обес печенностей (100%) на десять равных частей (число интервалов). По кривой обеспеченности для вероятностей превышения 10%, 20%....... 90% получаем границы интервалов на оси модульных ко эффициентов. Так, для первого интервала (вероятность превыше ния от 0 до 10%) верхняя граница будет равна бесконечности, так как функция распределения не ограничена сверху, а нижняя гра ница равна 1,22, для второго интервала (вероятность превышения от 10 до 20%) верхняя граница равна нижней границе первого ин тервала, а нижняя равна 1,14 и т. д.
Если случайная переменная попадает на границу интервала, ее условно всегда относят к верхнему интервалу.
Расчет исходных данных для определения критерия согласия х2 дан в табл. 4.18; в графе 2 приведены границы интервалов, в графе 3 — эмпирическое число случаев попадания расходов воды в каж дый интервал, и, наконец, в графе 4 — квадраты эмпирических чи сел случаев попадания расходов воды в интервал. Теоретическое число случаев попадания расходов воды в каждый интервал опре деляется по выражению
N k
248
cv
Рис. 4.8. Кривая обеспеченности модульных коэффициентов годового стока р. Невы у г. Петрокрепости,
/ — э м п и р и ч е с к и е д а н н ы е : 2 — р а с п р е д е л е н и е К р и ц к о г о — М е н к е л я ,
где N — общее число наблюдений, a k — число интервалов. В рас сматриваемом примере п —110/10= 11. Теоретическое число случаев
попадания расходов воды в полученные интервалы, равное 11, от личается от наблюденных данных, представленных в графе 3 табл. 4.18. Эти расхождения могут быть связаны или со случайными флуктуациями выборочных частот, или с возможной несовмести мостью данного ряда наблюдений с принятой функцией распределе ния Крицкого—Менкеля.
Таблица 4.18
|
Исходные данные для |
расчета |
критерия согласия |
у2 |
№ |
|
Ч и с л о |
случаев п о п а д а н и я |
(п*у- |
и н т е р в а л а |
Г р а н и ц ы и н т е р в а л о в |
р а с х о д а в о д ы в и н т е р в а л |
||
ft |
|
|
п* |
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
i |
oo~l,222 |
|
12 |
144 |
2 |
1,222-1,144 |
|
6 |
36 |
3 |
1,144-1,086 |
|
17 |
289 |
4 |
1,086-1,034 |
|
11 |
121 |
5 |
1,034-0,994 |
|
10 |
100 |
6 |
0,994-0,952 |
|
9 |
81 |
7 |
0,952-0,906 |
|
9 |
81 |
8 |
0,906—0,854 |
|
16 |
256 |
9 |
0,854-0,784 |
|
11 |
121 |
10 |
0,784—0,525 |
|
9 |
81 |
Для решения этого вопроса используем теоретическое распреде ление параметра %2 и подсчитаем фактическое значение %2 для рас
сматриваемого ряда наблюдений. Заметим, что при использовании критерия согласия %2 возможна оценка соответствия эмпирического распределения теоретическому не по всей кривой, а по ее части, что может оказаться полезным, когда исходные данные гидрологи ческих наблюдений представляют собой неоднородные выборки.
Для удобства последующих вычислений преобразуем выраже
ние (4.31), имея в виду соотношения: P* = n*/N, |
P = n/N, ni = n2 = |
|||||
= .. ,= т = . . ,= Пк= п, n = N/k, |
|
|
|
|
||
ft |
/ _ * , - . N 9 |
ft |
/ |
* |
\ 9 |
ft |
|
|
|
|
|
Д = |
{n*i ~ nf |
|
|
|
|
|
2 |
|
i = 1 |
‘ |
> = 1 ' |
|
|
' |
i = 1 |
|
_1_ |
|
|
|
* 7V_ |
|
|
n r 2 « ) s+ 2 ,(4 f - 2 2 «: k |
|||||
|
V |
/ *\2 |
i |
№ |
r. jV 2 - |
|
|
2 |
(n‘) |
+ - £ - |
•2 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
250
В итоге получаем
(4.32)
i—i
Подсчитаем величину х2 по полученному выражению, восполь зовавшись данными табл. 4.18,
х2= - / г • 1310-110= 9,21 .
По таблице распределения %2 |
[89] определяем |
%2q0/ при числе |
степеней свободы l= k — г — 1 = 10 — 3 — 1=6 и |
5%-ном уровне |
|
значимости. В данном случае |
=12,6. Фактическое значение %2 = |
|
= 9,21 оказалось меньше, т. е. попало в область допустимых значе ний, и, следовательно при принятом уровне значимости нуль-гипо теза (гипотеза соответствия наблюденных величин годового стока р. Невы у г. Петрокрепости принятой теоретической функции рас пределения) не может быть отвергнута.
Применим критерий согласия х2 для оценки соответствия сово купности годовых величин стока некоторых рек с различными тео ретическими функциями распределения, применяемыми в гидро логии.
Результаты этого расчета сведены в табл. 4.19.
Т а б л и ц а 4.19
Оценка соответствия рядов годового стока с различными теоретическими функциями распределения с использованием критерия согласия х2
|
|
Параметры распре |
||
|
|
|
деления |
|
|
Река — пункт |
|
|
|
|
|
км-с/л3 |
Cv |
С * , |
|
|
X |
||
|
|
|
||
С |
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
% |
|
X |
|
|
1 |
Нева — г. Петрокрепость |
9,12 |
0,17 |
0,16 |
2 |
Неман — г. Смалининкай |
6,70 |
0,17 |
0,52 |
3 |
Ангара — г. Пашки |
3,28 |
0,16 |
0,68 |
4 |
Влтава — г. Прага |
4,88 |
0,30 |
0,56 |
Эмпирическое значение х2 для различных распределений
|
рядачленовЧислоN |
расБиномиальное припределение „C2,C= |
норЛогарифмически распределемальное ниепри^С+^СггЗСЗ |
/—-N |
-КрицРаспределение Менкеля—кого |
|
|
, |
5* |
|
|
|
pi О |
|
|
|
|
£ |
1! |
|
|
|
S |
. «О |
|
oi О |
^ |
|
5 Я |
<N |
|
|
а . |
*"! |
<Ц |
С |
<N |
О . |
«в |
(J |
С |
||
У У |
|
|
|
| |
|
|
|
|
п о |
25,8 |
3,3 |
14,7 |
9,2 |
154 |
7,2 |
4,2 |
7,7 |
7,1 |
58 |
4,4 |
6,5 |
6,8 |
7,5 |
136 |
8,5 |
7,2 |
1 1 , 0 |
9.7 |
Для всех рядов было назначено 10 интервалов. По данным табл. 4.19 можно произвести сравнительную оценку пригодности теоретических распределений для описания годового стока рассмат риваемых створов наблюдений. При выборе отношения Cs/Cv.
25 Т
принималось во внимание условие простирания теоретической фун кции распределения от 0 до сю. При этом требовании первые три распределения являются двухпараметрическими, так как третий па раметр (Cs) оказывается функционально связанным с коэффициен том вариации. Трехпараметрическое гамма-распределение Криц- кого—Менкеля свободно от этого ограничения, и поэтому отноше
ние Cs/Cv назначалось в соответствии |
с наблюденными данными. |
||
Принимая 5%-ный уровень значимости и учитывая, что число |
|||
степеней свободы для первых трех распределений |
равно l = k — |
||
— г — 1=7, |
а для последнего распределения / = 6, по таблице рас |
||
пределения |
х2получаем критические значения х25%=14,1для пер |
||
вых трех распределений и х25%= 12,6для распределения Крицкого— |
|||
Менкеля. |
|
значениями |
эмпирические |
Сравнивая с этими теоретическими |
|||
величины х2. приведенные в табл. 4.19, |
приходим к следующим вы |
||
водам:
а) ряд среднегодовых расходов воды р. Невы при 5%-ном уровне значимости согласуется с логарифмически-нормальным за коном распределения и с распределением Крицкого—Менкеля (по скольку теоретическое значение величины х25о/о больше эмпириче
ского значения х2); б) ряды среднегодовых расходов воды рек Немана, Ангары и
Влтавы согласуются со всеми испытываемыми кривыми распреде
ления; |
данных одновременно |
|
в) отмечаемое согласие эмпирических |
||
с несколькими аналитическими функциями |
распределения объясня |
|
ется, как указывалось выше, небольшой чувствительностью |
крите |
|
рия х2при оценке согласия эмпирических и теоретических |
законов |
|
распределения в случае использования рядов, включающих даже
100— 150 членов.
С увеличением объема выборких2 (конечно, при прочих равных
условиях) значение критерия возрастает, что приводит к выводу о несовместимости эмпирических распределений даже с заведомо согласующимися теоретическими схемами распределения. Наобо рот, ряды малых объемов (100 членов и менее) согласуются даже с заведомо несогласующимися теоретическими функциями распре деления, что и имеет место в рассматриваемых примерах.
Указанный недостаток критерия х2 в некоторой мере может быть устранен назначением различных уровней значимости. С уве личением объема выборки уровень значимости целесообразно уве личивать. Намечаемый подход в настоящее время не разработан. Его количественная оценка может быть осуществлена на основе ме тода статистических испытаний.
Критерий х2может быть использован при выяснении вопроса
о лучшем соответствии одной из нескольких теоретических кривых распределения одномух2 и тому же эмпирическому ряду. При этом
меньшее значение будет свидетельствовать о лучшем соответст вии данной функции распределения эмпирическому материалу.
252