Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

§2

основные требования, предъявляемые к оценкам параметров распределения

Очевидно, что наилучшей оценкой параметров следует считать такую, которая наиболее близка к истинному значению оценивае­ мого параметра. Уточним это общее определение. Допустим, рас­ сматривается функция плотности вероятностей Р (х, сн, Дг........Да)

известного вида, содержащая неизвестные параметры ai, Дг, ..., Да, и случайная выборка объемом п членов из генеральной совокупно­ сти xi, хг, ..., хп, соответствующей указанной функции распределе­ ния Р (х, аи аг, ..., Да). При этом k<^.n. По данным выборки требу­

ется оценить значения неизвестных параметров.

Оценки параметров генеральной совокупности, которые обозна­ чим а\, аг, ..., Да, как отмечалось "выше, зависят (являются функ­

личинами случайными, варьирующими от выборки к выборке. За­

кон распределения д,- зависит, во-первых, от закона распределения величины х (и, в частности, от самого неизвестного параметра д), во-вторых, — от числа опытов п.

Функций вида Дг (xi, хг, ..., хп), используемых для определения

выборочных значений параметров, вообще говоря^ может быть предложено весьма много. Так, для определения математического ожидания можно использовать среднее арифметическое или сред­ нее геометрическое, медиану, различные квантили, полусумму крайних членов выборки и т. д. Однако эти характеристики будут обладать различной степенью приближения к искомому «истин­ ному» значению рассматриваемого параметра. Число возможных функций, используемых для определения выборочных значений па­ раметров, существенно сократится, если к оценкам параметров предъявить некоторые определенные требования.

Первым условием, которому должна удовлетворять рацио-

онально построенная оценка1 a (xi, х%, .... х„) для параметра д,

является сходимость по вероятности оценки к оцениваемому пара­ метру при неограниченном возрастании объема наблюдений п, т. е.

в(*Ь *2 ..........(5-1)

1Для простоты изложения ограничиваемся случаем выборки из совокупно­ сти, описываемой функцией плотности вероятности Р(х, а), содержащей лишь один неизвестный параметр а.

Отметим, что про случайную величину (в данном случае а) говорят, что она сходится по вероятности к величине а, если при увеличении п выполняется равенство

(5.2)

П

где е — сколь угодно малая величина.

Оценки, удовлетворяющие требованию (5.1) и (5.2), называются

состоятельными.

Состоятельность статистической оценки обеспечивает ее практи­ ческую близость (по крайней мере, при больших значениях п) к ис­

комому параметру. Примером состоятельных оценок являются вы­ борочные оценки среднего значения и дисперсии. Из состоятельно­ сти оценки еще нельзя сделать полного вывода о ее пригодности для приближенного определения соответствующего параметра при малых п, так как в этих условиях состоятельная оценка может ук­

лоняться в ту или иную сторону от искомого значения параметра. Поэтому вторым условием, предъявляемым к статистическим оценкам, является условие несмещенности, т. е. отсутствие в ней си­ стематической погрешности при любом п. Для несмещенной оценки

ее математическое ожидание должно совпадать с параметром гене­ ральной совокупности

(5.3)

Здесь имеется в виду, что математическое ожидание оценки а определяется из множества выборок случайной переменной х объ­ емом N при любом конечном (в том числе и при малом) числе п членов в выборке (n<^N). Оценка называется положительно сме­

щенной, если М (а )> а , и отрицательно смещенной, если М (а)< а.

Требование несмещенности оценок особенно важно при малых объемах выборок (рядов наблюдений), с которыми обычно прихо­ дится иметь дело гидрологам. Выборочное среднее арифметическое значение является не только состоятельной, но и несмещенной оценкой математического ожидания

260

лых п является отрицательно смещенной оценкой дисперсии гене­

ральной совокупности

Величина S2, исправленная на величину смещения и, следова­

тельно, являющаяся уже состоятельной несмещенной оценкой, мо­ жет быть определена, согласно формуле (5.5), по соотношению

В случае отсутствия зависимости между членами исходной по­ следовательности можно записать

М {(JCi — р)(Xi+k— р)} = М (xt — p)M(xi+k — р )= 0 .

Поэтому, переходя к математическому ожиданию выборочных дисперсий, получаем

261

Полученное соотношение является основой зависимости (5.6), которая обычно и используется в руководствах по гидрологии для оценки выборочного значения дисперсии при п < 20. При п > 20 по­

правку на смещение вследствие ее незначительности не учитывают.

некоторых сложных функций, обеспечивающих получение выбороч­ ных значений, лишенных эффекта смещенности. Способ устранения смещенности введением соответствующих поправок используется в дальнейшем при изложении метода статистических испытаний

него квадратического отклонения может быть устранена по равен­ ству (5.6), можно было бы ожидать, что коэффициент вариации определяется без систематического смещения. Однако Е. Г. Блохи-

оценки коэффициента вариации.

Указанный вывод, по мнению Блохинова, следует из того обсто­

ятельства, что несмещенность аргументов (х и сгж) не определяет несмещенности функции (Cv). Поправка на смещенность выбороч­

ной оценки С„, вытекающая из формулы (5.7) при п>20, состав­ ляет 2—5%, и поэтому обычно не учитывается. Полученная Блохиновым аналогичным образом поправка для устранения отрицатель­ ной смещенности выборочной оценки коэффициента асимметрии имеет вид

(п — 1) (я — 2) •

Однако эта поправка не обладает необходимой точностью и под­ лежит уточнению на основании метода статистических испытаний, излагаемого ниже.

Состоятельные несмещенные оценки, полученные различными методами, могут иметь различное рассеяние. Например, при нор­ мальном законе распределения вероятностей для оценки центра распределения (математического ожидания) можно использовать как среднее арифметическое значение, так и эмпирическую меди­

262