Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

рических и теоретических функций распределения целесообразно использовать, опираясь на сопоставления, выполненные по многим рядам в пределах однородных физико-географических районов. При этом в качестве основания для выводов может служить сопостав­ ление теоретической функции распределения %2 с эмпирическим распределением этого параметра (статистики), полученным по со­ вокупности значений %2в рассматриваемом районе.

При выполнении указанного обобщения желательно использо­ вать ряды наблюдений примерно одинаковой длительности. Выяс­ нение соответствия эмпирических и теоретических кривых распре­ деления (обеспеченности) необходимо выполнять каждый раз по отношению к одной определенной теоретической схеме распреде­ ления.

критерий согласия Колмогорова

В качестве меры отличия эмпирических данных от принятой тео­ ретической функции распределения Колмогоров принимает наи­ большее по абсолютной величине расхождение между эмпириче­ ской и теоретической функциями распределения

ческой терминологии — кривые обеспеченности. Поэтому использо­ вание данного критерия в гидрологических исследованиях обычно не вызывает трудностей.

Распределение величины D при выполнении нуль-гипотезы

и при достаточно больших объемах выборок не зависит от вида рас­ пределения, к которому принадлежит рассматриваемая выборка (эмпирическая функция распределения).

Расчетная схема использования данного критерия сводится к определению статистики Я, представляющей собой произведение критерия D на корень квадратный из объема совокупности,

>.=£> Уп.

Далее, задаваясь уровнем значимости (обычно 5%-ным), по таблице распределения Колмогорова (см., например, [89]) опреде­ ляют критическое значение Яд. Если Я<Я9, то нуль-гипотеза не от­ вергается, а различия между эмпирическими данными и теоретиче­ ской функцией распределения признаются случайными. Если же Я>Яд, то признается альтернативная гипотеза, т. е. гипотеза

2 5 3

несоответствия наблюденных данных принятой теоретической функ­ ции распределения.

Как видно, расчетная схема критерия согласия Колмогорова до­ статочно проста, и применение ее не требует дальнейших пояс­ нений.

Обратим внимание лишь на ограничения, которые часто не учи­ тываются при анализе рядов гидрологических величин с помощью рассматриваемого критерия. Этот критерий, строго говоря, приме­ ним тогда, когда исходное теоретическое распределение точно изве­

распределения определяются на основании наблюденных величин, мы рискуем принять теоретическую функцию распределения, в то время как она плохо согласуется с экспериментальными данными. Указанное положение является следствием того, что функция рас­ пределения с параметрами, определенными по данным фактиче­ ских наблюдений, условно принимаемая за теоретическую, всегда лучше согласуется с этими данными, чем истинное теоретическое распределение.

Статистика /. может быть применена для сравнительной оценки нескольких теоретических функций распределения применительно к одному и тому же эмпирическому материалу аналогично тому, как это было указано при использовании критерия %2-

Рассматриваемый критерий согласия, в отличие от критерия %2> не учитывает число параметров, входящих в теоретическую функ­ цию распределения. Это приводит к тому, что теоретическая функ­ ция распределения с большим числом параметров, как правило, бу­ дет лучше согласовываться с эмпирическими данными, чем теоре­ тическая функция с меньшим числом параметров.

Ввиду того что при использовании рассматриваемого критерия учитывается лишь наибольшее уклонение эмпирических данных от принятой теоретической функции распределения, он использует далеко не всю информацию, заключающуюся в рядах наблюдений. Действительно, можно представить себе, что эмпирические данные систематически уклоняются от принятой аналитической кривой, но не настолько, чтобы критерием D исключалась нуль-гипотеза. В по­

добных случаях критерий Колмогорова будет указывать на хоро­ шее согласие теоретической и эмпирической функций распределе­ ния, в то время как будет наблюдаться очевидное их несоответ­ ствие.

Отмеченные ограничения, свойственные критерию Колмогорова, не исключают возможности его применения в гидрологических рас­ четах, в частности, вследствие его простоты и большей мощности по сравнению с критерием х2Большая мощность этого критерия, как отмечается в работе Кипинга [137], приводит к тому, что более, часто отвергается нуль-гипотеза,. чем при использовании крите­ рия х2-

254

критерий согласия nw2

Этот критерий обеспечивает наиболее полное использование информации, заключенной в фактических рядах наблюдений. В ка­ честве меры расхождения между эмпирической и теоретической функциями распределения в данном случае используется средний квадрат отклонений эмпирических обеспеченностей от теоретиче­ ских по всем значениям случайной переменной

П

При «> 40 распределение «со2 независимо от вида исходного теоретического распределения близко к некоторому предельному распределению, представленному в табл. 4.20.

Если значение «со2, вычисленное с использованием выражения (4.34), оказывается больше теоретического значения то2 при

<7 %-ном уровне значимости, то нуль-гипотеза отвергается.

Применение данного критерия более трудоемко по сравнению, например, с критерием Колмогорова. Однако это компенсируется более полным использованием исходной информации по сравнению с ранее рассмотренными критериями.

Напомним, что при использовании данного критерия так же, как и предыдущего (критерия Колмогорова), строго говоря, необхо­ димо знать не только тип распределения, которому подчиняется вы­ борка., но и параметры, его определяющие.

Замена неизвестных параметров генеральной совокупности вы­ борочными значениями, как указывалось при изложении критерия Колмогорова, приводит к признанию нуль-гипотезы, даже в случае недостаточного согласования аналитических и эмпирических функ­ ций распределения.

В заключение отметим, что применение критериев согласия мо­ жет быть распространено на оценку однородности большого коли­ чества рядов гидрологических наблюдений. В этом случае, например

255

глава V

статистическая оценка параметров распределения случайных величин

§ 1

общие понятия

Важнейшим элементом статистического анализа является оценка параметров распределения, принимаемых для описания рассматриваемой совокупности случайных величин.

В главе I при описании законов распределения показано, что в качестве таких параметров выступает математическое ожидание (среднее значение), среднее квадратическое отклонение (или коэф­ фициент вариации) и коэффициент асимметрии. Для описания не­ которых законов распределения (например, трехпараметрического гамма-распределения и биномиального закона в его общей форме) привлекаются все три параметра; в случае использования нормаль­ ного закона распределения достаточно знать величину математиче­ ского ожидания и среднего квадратического отклонения; закон Пу­ ассона описывается с использованием лишь одного параметра — математического ожидания и т. д. В гидрологии, в частности, при расчетах многолетних колебаний стока, обычно применяются кри­ вые распределения, содержащие не более трех независимых пара­ метров: среднее значение, коэффициент вариации и коэффициент асимметрии.

В тех случаях, когда закон распределения вероятностей (тип кри­ вой) выбран, исходя из общих соображений, учитывающих, напри­ мер, пределы изменения варьирующего признака, асимметричности распределения и т. д., в качестве основной возникает задача

оценки параметров применительно к условиям данной конкретной совокупности. Очевидно, что решение этой задачи возможно лишь на основании той информации, которая содержится в материалах фактических наблюдений за рассматриваемым элементом гидроло­ гического режима. Понятно так же, что, имея ряд такой же длитель­ ности, но за некоторый иной период времени, можно получить не­ сколько иные значения параметров законов распределения рас­ сматриваемого элемента режима. Значит, любое значение искомого параметра, вычисленное на основании ограниченного числа опы­ тов, всегда будет содержать элемент случайности. Такое прибли­ женное, случайное значение называют оценкой параметра. Напри­

мер, оценкой математического ожидания будет служить среднее арифметическое наблюденных величин в п независимых опытах.

При очень большом числе опытов среднее арифметическое будет с большой вероятностью весьма близко к математическому ожида­ нию. Если же число опытов п невелико, то замена математического

ожидания средним арифметическим приводит к некоторой ошибке. Эта ошибка в среднем тем больше, чем меньше число опытов и чем больше коэффициент вариации. Аналогично обстоит дело и с оцен­ ками других неизвестных параметров.

Таким образом, возникает задача, как наилучшим образом использовать относительно короткие ряды имеющихся наблюдений над характеристиками гидрологического режима для оценок пара­ метров распределения вероятностей. Решение этой задачи опира­ ется на основные положения выборочного метода.

Теория выборочного метода имеет особое значение при обра­ ботке материалов гидрологических наблюдений, поскольку пара­ метры генеральных совокупностей обычно заранее не известны и о них приходится судить на основании выборок, как правило, не­ большого объема.

Следует принять во внимание и то обстоятельство, что во многих случаях, в частности при расчетах речного стока, имеющийся объем выборки не может быть увеличен, так как он определяется уже су­ ществующим периодом наблюдений. В некоторых случаях, напри­ мер при изучении пульсации скоростей течения, такая возможность, принципиально существует.

При использовании приемов выборочного анализа имеют в виду, что рассматриваемые статистические совокупности представлены качественно однородными величинами, принадлежащими к одной и той же генеральной совокупности. В этих условиях особое значе­ ние при гидрологических расчетах приобретает анализ репрезента­ тивности совокупности гидрологических величин, т. е. оценка пред­ ставительности выборочных данных по отношению к генеральной

258