Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

ану. Обе эти оценки состоятельны и несмещены, однако величина их рассеяния неодинакова. Поэтому возникает необходимость в оценке выборочных оценок параметров по их дисперсии. При этом

в качестве критерия эффективности двух каких-либо оценок оч

и а2 одного и того же выборочного значения параметра а принима­

ется отношение

Da2

Если е < 1, то оценка at более эффективна, чем а% (и наоборот),

так как ей соответствует меньшее рассеяние. Та оценка оч, у кото­ рой дисперсия не превосходит некоторого теоретического возмож­ ного минимума, называется эффективной оценкой с минимально возможной дисперсией.

В качестве примера оценим эффективность применения крите­ рия для оценки математического ожидания нормальной генераль­ ной совокупности средней арифметической и медианы. Дисперсия случайных колебаний среднего арифметического значения для ряда случайных величин, включающих п членов, определяется по выра­ жению

после определения дисперсии и среднего арифметического имеем:

D (х) = М [(эс-Хо)2],

так как D(x)— M [(л;,— х0)2].

Таким образом, среднее квадратическое отклонение (случайная ошибка) выборочной средней арифметической равно среднему квадратическому отклонению генеральной совокупности, уменьшен­

ному в У п раз,

263

Подставим в (5.11) ox= Cvxx, получим обычно использующуюся

в гидрологии зависимость

Сг,х х

о_ (5.12)

X Vn

Пользуясь зависимостью (5.12), можно установить необходимое число лет наблюдений п для получения нормы рассматриваемой

величины '(например, стока) с заданной случайной ошибкой при различных значениях величины коэффициента вариации. Для гене­ ральной совокупности, подчиняющейся нормальному закону рас­ пределения, дисперсия медиан, полученных из выборок объема п членов, определяется по формуле

Используя зависимости (5.11) и (5.13), определим эффектив­ ность медианы по сравнению со средней арифметической

Приведенное соотношение показывает, что для определения оценки центра по среднему арифметическому нужно использовать лишь 64% того числа наблюдений, которое требуется для решения этой задачи через оценку медианы.

Приведенные в настоящем разделе краткие сведения о способах оценки точности выборочных значений параметров, в частности, о способах устранения смещения, полученные путем теоретического анализа, имеют преимущественно иллюстративное значение, по­ скольку они относятся к нормально распределенным совокупностям или к гамма-распределению, ограниченному условием Cs= 2Ct!. Более полное исследование точности выборочных оценок парамет­ ров, выполненное на основании метода статистических испытаний, изложено в § 4 настоящей главы.

§ 3

методы определения оценок параметров распределения

При решении гидрологических задач используются следующие методы определения оценок параметров распределения:

1 ) метод моментов;

2 ) метод квантилей;

3 ) метод наибольшего правдоподобия.

Метод моментов получил наибольшее распространение в прак­ тике гидрологических расчетов. Сущность его заключается в том, что искомые параметры распределения выражаются через мо­

264

менты, в качестве оценок которых принимают значения моментов эмпирического распределения обычно с поправками на ликвидацию смещения. Число эмпирических моментов, определенных по мате­ риалам наблюдений, равно числу параметров рассматриваемого за­ кона распределения. Как уже отмечалось, достоверность эмпириче­ ской оценки моментов с возрастанием их степени при данном объ­ еме совокупности резко снижается. Поэтому в гидрологии обычно не применяются распределения, зависящие более чем от трех пара­ метров.

Параметры законов распределения через статистические мо­ менты выражаются формулами (1.1), (1.22) и (1.27). Оценки пара­ метров, полученные способом моментов, применительно к законам распределения, используемым в гидрологии, являются состоятель­ ными для случая внутрирядно несвязанных величин. Смещение оце­ нок невелико и может быть устранено с помощью простых по­ правок.

Метод квантилей основан на использовании связи величин вы­ борочных параметров со значениями соответствующих квантилей. В гидрологических расчетах получил распространение графоанали­ тический вариант метода квантилей, разработанный Г. А. Алексее­ вым [3, 5]. Технические приемы применения этого метода рассмот­ рены в главе III.

ного появления в выборке значений хх, х2, ..., хп в границах: для первого члена от х\ до Xi+ Axi

Здесь Pi (Х{, a)Axi — вероятности того, что любое, взятое на вы­ борку значение х* попадет в некоторый интервал (х,-— Xj+i). Эти

вероятности при достаточно малых интервалах могут приближенно считаться пропорциональными ординатам кривой плотности веро­ ятностей (Р') функции распределения, используемой для описания

рассматриваемой совокупности.

Поскольку выборочные значения хь ..., хп случайной величины

фактически наблюдались в процессе опыта, то наиболее вероятно такое значение параметра а, или нескольких параметров, при кото­

ром эта вероятность максимальна, т. е. при которой достигает мак­ симума произведение вероятностей (или, что то же, сумма логариф­ мов вероятностей) наблюденных величин

L(XU х 2, . . ., х п\ а )= р [( х и а)Р2(х2, а) . . . Р'„(хп, а). (5.14)

Выражение (5.14) называется функцией правдоподобия.

265

Таким образом, в качестве оценки для неизвестного параметра а принимается его значение, получаемое из уравнения

значения вероятностей. Это свойство метода наибольшего правдо­ подобия в большей мере проявляется в асимметричных распределе­ ниях. В методе же статистических моментов, наоборот, придается больший вес крайним членам выборки и меньший — средним. Поэтому метод наибольшего правдоподобия приводит к более устойчивым оценкам параметров, чем метод моментов. Метод наи­ большего правдоподобия приводит к состоятельным оценкам, рас­ пределенным асимптотически нормально, имеющим наименьшую возможную дисперсию по сравнению с другими, также асимптоти­ чески нормальными оценками, и наилучшим образом использующим всю информацию о неизвестном параметре, содержащуюся в вы­ борке. Оценки по методу наибольшего правдоподобия могут быть смещены. Это смещение, в общем незначительное, может быть уст­ ранено введением соответствующих поправок.

Применительно к закону нормального распределения оценки, получаемые методом наибольшего правдоподобия, совпадают с моментными оценками. Для других распределений эти методы дают, как правило, различные результаты.

Метод наибольшего правдоподобия в практику гидрологических

правдоподобия параметров нормального распределения.

Как известно, нормальный закон распределения применительно

Образуем функцию правдоподобия (5.14), для чего предвари­ тельно найдем логарифмы величин Р (xit х0, о)

266

Суммируя величины 1пР для всех наблюденных значений хи по­ лучим функцию правдоподобия

Таким образом, статистической оценкой параметра xq (матема­

тического ожидания) в данном случае является величина среднего арифметического значения ряда величин Xi.

Для получения методом наибольшего правдоподобия выраже­ ния статистической оценки параметра о образуем уравнение прав­

т. е. выражение среднего квадратического отклонения.

Из приведенного анализа следует, что применительно к нор­ мальному закону распределения оценки параметров, полученные методом наибольшего правдоподобия, совпадают с моментными оценками. Для других кривых распределения такое полное совпа­ дение не является обязательным.

В качестве второго примера рассмотрим, согласно анализу, вы­ полненному С. Н. Крицким и М. Ф. Менкелем [68], примене­

ние метода наибольшего правдоподобия для оценки параметров

267