Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 205

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

рассчитываем моделированный ряд, отвечающий исходным пара­

метрам (х*, С*, Cs/Cv,

r * i+l,

N).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

определении

модульного

 

коэффициента

по

таблице

k (Р, Cv)

необходимо осуществить

интерполяцию

табличных зна­

чений для

исходного

С*

и

полученного случайного

числа Р*

(рис. 5.4). Для выполнения этой операции применена

интерполя­

ционная формула Ньютона с неравномерным шагом

 

 

 

R —

 

 

pu l - p t

v

 

■Pi)'

 

^i, j+\ --

Д

 

(c«

 

СД

 

 

 

 

 

 

VJ +1

 

 

 

 

ki, j +

hi +1, j +1-- ki,

; + l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где ki, j,

ki+1, j,

ki, j+i,

^i+i, j+i — табличные значения

модульных ко­

 

 

 

Р

 

 

 

эффициентов; Р* — случайное число,

 

 

 

 

 

 

принимаемое

за

 

обеспеченность;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pi — ближайшее

меньшее

Р*

таб­

 

 

 

 

 

 

 

личное

 

значение

 

обеспеченности;

 

 

 

 

 

 

 

Pj+i — ближайшее

большее Р*

таб­

 

 

 

 

 

 

 

личное

 

значение

 

обеспеченности;

 

 

 

 

 

 

 

С* — исходное

значение коэффици­

 

 

 

 

 

 

 

ента

 

вариации;

С„ — ближайшее

 

 

 

 

 

 

 

меньшее

табличное

значение

С„;

 

 

 

 

 

 

 

С„

— ближайшее

табличное

зна­

 

 

 

 

 

 

 

чение С„.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В случае биномиального закона

 

 

 

 

 

 

 

распределения,

таблица

которого

Рис. 5.4.

Схема интерполяции.

представлена

в

 

виде

отклоне­

 

 

 

 

 

 

 

ний

ординат

от

середины

Ф=

= -~р,—

 

использовалась аналогичная

формула

с входом

по Р

О D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и Cs.

 

 

 

 

 

членов

формулы

Ньютона привело

Использование четырех

к вполне достаточной точности интерполяции. Расчет по рассмот­ ренной схеме выполнялся на ЭВМ. Алгоритм программы расчетов

включает 4 этапа.1

статистическое модели­

На п е р во м э т а п е осуществляется

рование случайной совокупности Хи Хч, . .

хп в виде простой цепи

Маркова, соответствующей трехпараметрическому гамма-распреде­ лению или биномиальной кривой обеспеченности2. Для этой цели

вЭВМ вводятся:

1Работа выполнена под руководством А. В. Рождественского. Программа составлена В. М. Зверевой.

2Биномиальная кривая обеспеченности рассматривается так же, как трех­

параметрическое распределение при С ,^2С „.

284

Sxp=0,00l Sxp-0,01

а) стандартные параметры распределения (среднее арифмети­ ческое значение х*, коэффициент вариации С* и асимметрии С*

или отношение k* = С* /С* );

 

б) коэффициент корреляции между смежными

членами ряда

гг, i+l!

представлен­

в) трехпараметрическое гамма-распределение,

ное таблицами Блохинова—Никольской, или таблица биномиаль­ ного закона распределения;

 

/ этап

 

II этап

 

 

IVэтап

Х11

Х12'

• x l t " ’XJn

x i

CV1

CS1

r ,

Xl;0,00l

X1;0fl1 " '

x 1jP • • • Х1;Э9,9

Х21

х 22 '

■X2L ■■-x2n

x 2

cy2

Cs2

4

x 2,0,001

x 2;0,01" '

X2;P -■■x 2-99,9

XJ 1 XJ 2 ' ■X ji'-'X jn

XJ

XL1 XL2 " ■x LL--x Ln

XL

 

Xx

 

%

 

C$x

cy j

C*j

?

x jjO,oot

xj-,o,oi-■■ XJiP

XJf 99,9

 

 

 

 

 

\

csL

h

XL)0,001

XL;0,01‘

X L;p - ' x Li99,9

c v

Cs

r

Xp-0,001 x p=Ofil" * Xp ’ • *

X p:gg9

c%

C%

C»r

^ Vxp=o,oof°xp=o,oi

Cvx * ' ’Cj)

XP

Хр~Щ9

CgCv

C*cs

CV

C

C • • •

C c ‘ **Ce

 

 

 

 

 

bXp

bXp=999

 

 

 

 

/// этап

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.5. Схема расчетов.

 

 

 

 

г)

общее число членов моделированной совокупности

(N) ;

д)

выборочное число членов (я).

 

по существу, произ­

На

 

в т о р о м

э т а п е

расчетов, который,

водится одновременно с первым, моделированный ряд объема N

разбивается на выборки меньшего объема я

(n < N ),

по которым

вычисляются стандартные параметры

распределения

(х, Cv, Cs)

и г i+.

 

 

 

в которой

первый

индекс /

Приведем общую схему расчетов,

(от /=

1

до j = L)

обозначает номер

выборки,

а второй

индекс г

(от i —1

до i — n)

указывает на порядковый номер каждого члена

выборки объемом я (рис. 5.5).

распределения

и коэффици­

Расчет стандартных

параметров

ента корреляции между смежными членами

ряда для каждой вы­

борки / (от 1 до L) осуществлялся по известным формулам:

П

 

Xi = — r,----- >

<5-44)

285

 

о

1

-

2

S =

п -

1

i = 1

— =

 

 

*2

'

xi

 

 

X J

S ( л - 1 ) ( л - 2 )

i2=1 (*!■ i ~ * l f

 

*1

 

 

 

 

 

 

n — 1

 

 

r U, i + D j :

1

у

 

(xj.i + i —x),

 

 

 

(5.45)

(5.46)

(5.47)

которые при счете на ЭВМ выражались через начальные моменты. Следовательно, в результате расчетов на: данном этапе получаем

Xj,

Cv

CSj,

ry, i+i), j,

где / пробегает-значения от

1

до L.

Даль­

нейшие расчеты распадаются на две самостоятельные задачи

(тре­

тий и четвертый этапы).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На

т р е т ь е м

э т а п е

производятся вычисления стандартных

параметров распределения

( х , Cv, Cs) по рядам, состоящим из X j ,

С„ , Cs., ry,i+i),j [соответственно формулам

(5.44) — (5.47)],

в ко­

торых пределы суммирования осуществляются по j от / = 1

до j = L.

В итоге на этом этапе получаем среднее значение

(х ),

коэффици­

ент вариации (Cv-)

и коэффициент асимметрии

(Cs—) выбороч­

ных средних Xj\ среднее значение

(С„),

коэффициент

вариации

(Cv„ )

и коэффициент асимметрии (Cs

)

выборочных

коэффици-

ентов вариации Cv.;

среднее значение (Cs),

коэффициент

вариа­

ции (Cv„ ) и коэффициент асимметрии

(Cs

) выборочных коэф-

фициентов асимметрии CSj и, наконец,

среднее значение (ri, ,чi),

коэффициент

вариации

(С«г/г+1)

и

коэффициент

асимметрии

(С3/.

)

выборочных коэффициентов

корреляции

между смеж­

ными членами ряда гу, ш), з• Перечисленные

параметры выводятся

на печать.

 

 

 

( п о с л е д н е м )

э т а п е осуществляются

 

На

ч е т в е р т о м

расчеты

по определению

стандартных

параметров (хРя аХр

Са

\

выборочных

ординат трехпараметрического

 

гамма-распре-

Хр 1)

деления или биномиального распределения. Для этой цели исполь­ зуются параметры Xj, Cv . от / = 1 до }= L, получаемые на втором

286

этапе расчета. Значение коэффициента асимметрии принимается для распределения Крицкого-—Менкеля по нормативному соотно­ шению с коэффициентом вариации (Cs = kCv). Следовательно, ис­

пользуется

только два

свободно

назначаемых

параметра

 

(xj,

Cv .), по которым определяются ординаты

кривой

обеспеченности

трехпараметрического гамма-распределения. В результате

 

полу­

чаем xPj (/=1, 2, ..., L)

для обеспеченностей Р = 0,001;

0,01;

0,03;

0,05;

0,1;

0,3;

0,5;

1; 3;

5;

10; 20;

25;

30;

40;

50;

60;

70;

75;

80;

90;

95;

97; 99; 99,5; 99,7; 99,9%. Для биномиального же закона распределе­ ния предусматривается расчет с использованием двух (х, Cv и Cs =

—kCv) и трех свободно назначаемых параметров (х, Cv, Cs)■

Взаключение по формулам (5.44) — (5.46) определяются выбо­ рочные параметры ординат трехпараметрического гамма-распреде­

ления (хр■ CvХр , CsХр )

или биномиального закона для указанных

значений обеспеченности.

В этих расчетах в качестве случайной пе­

ременной выступают значения хр. от / = 1 до j = L,

а

Р = 0,0 0 1;

0,01,...,99,9%.

 

вышеизложенный

Таким образом, в программе, реализующей

алгоритм, предусматривается расчет с использованием

исходной

информации по шести параметрам: п (n<N)\

х*, С*

,

k = Cs/Cv

(определяющих исходную таблицу трехпараметрического гаммараспределения или таблицу биномиального распределения, которые также вводятся в ЭВМ), г* и, наконец, N, определяющее число

выборок L — N/n.

В результате расчетов выдаются на печать следующие харак­ теристики:

1. Параметры распределения (хлг, CVn , CsN ) и коэффициент

корреляции между смежными членами ряда (гщг+р^ ) по модели­

рованной последовательности заданного объема N. На основании

этой информации производится оценка качества моделирования пу­ тем сравнения полученных параметров с заданными. При этом за­

данные характеристики х*, С*, С*, г*

представляют собой

параметры генеральной совокупности, a xN, CgN , CSn, rN— выбо­

рочные параметры по ряду конечного объема N. При достаточно большом N заданные и рассчитанные параметры будут отличаться

на сколь угодно малую величину, и тогда моделированная после­ довательность объема N приближенно может приниматься за гене­

ральную совокупность.

2. Стандартные параметры выборочных параметров распреде­

ления заданного объема п(х, Cv_,

Cs- ,

Cv, Cvc .

CSr , Cs,

X

X

V

^V

287

С„с ,

Csc

, г,

CVr, Csr ).

При сравнении заданных

параметров

(х*,

С*,

С*,

г* ,+i ) со

средними

их значениями,

полученными

по выборкам объема п [хп, CVn,

CSn, rn), можно

оценить сме­

щенность выборочных параметров. Случайные средние квадратиче­ ские погрешности выборочных параметров распределения задан­

ного

объема

п:

ax(CVx), CV(. ,

С„с ,

ar (CVr) в

сочетании

с Cs—, Cs

,

Cs

, Cs определяют законы распределения выбороч-

x

U

v

s

 

 

 

 

 

 

 

ных параметров.

 

 

 

 

 

 

 

3.

Параметры

распределения

(хр,

Cv

(ах

)

С8

) 27 орди-

 

 

 

 

 

'

хр

'

Р'

Хр/

г

нат при Р = 0,001; 0,0 1 ; ...; 99,9%. Смещенность ординат кривой

обеспеченности может быть установлена путем сравнения таблич­ ного (истинного) значения х* с рассчитанным хр. Зная параметры

распределения ординат кривой обеспеченности и применяя гаммараспределение в качестве закона, описывающего колебания выбо­ рочных ординат, легко установить любые доверительные границы для всех принятых обеспеченностей, или, в конечном счете, довери­ тельные границы для распределения Крицкого—Менкеля или би­ номиального, описывающего выборочные данные конечного объ­ ема. Заметим, что подобные доверительные границы по данной про­ грамме реализуются при двух свободно назначаемых параметрах

(х, Cv) и при фиксированном отношении Cs/Cv для распределений

Крицкого—Менкеля и биномиального, а также при трех свободно

назначаемых параметрах (х, Cv, C.s) для биномиального закона.

Реализация рассмотренной программы для различных исходных параметров х*, С*, С*, г* , п и N может вскрыть статистиче­

ские закономерности, точная оценка которых на основе аналитиче­ ского анализа не получена или настолько сложна, что этот путь не может быть практически использован при решении статистических задач. Следует также учесть, что точность решений на основе ста­ тистического моделирования, вообще говоря, может быть сколь угодно высокой, что достигается назначением достаточно боль---

того N. Однако при постановке подобных численных эксперимен­

тов обычно приходится искать оптимальные условия, при которых и погрешности решения не будут слишком велики, и реализация программы даже на современных быстродействующих цифровых машинах будет практически возможной. Отметим, что программой

расчета

предусматривается возможность изменения параметра х

в любых

(конечных) пределах; пределы изменения Cv и Cs ограни­

чены значениями этих параметров, приведенными в таблицах Бло-

хинова—Никольской [24], и биномиального закона

(Cs); величины

п i+i могут изменяться во всем диапазоне, т. е. ±1,

ti<N, a

< 233— 1 .

 

288

Смотрите также файлы