Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

§ 5

результаты оценок выборочных параметров распределения

Как было отмечено в § 3, определить статистические оценки па­ раметров законов распределения в полном объеме (т. е. в зависи­ мости от объема выборки, изменчивости и асимметрии ряда при различных значениях коэффициента внутрирядной корреляции) на основе аналитического анализа не удается. Такие оценки возможны на основе использования метода статистических испытаний. Приво­ димые ниже основные выводы, полученные в этом направлении, опираются на статистическое моделирование, выполненное по про­ грамме, изложенной в § 3. При реализации этой программы ряды представлялись в форме модульных коэффициентов. В этом слу­

1,0, коэффициенты асимметрии — Cs= 0; CS = CV; CS=2CT; CS = 3CV; CS = 4CV, коэффициенты корреляции между смежными членами

ряда — 0,0; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9. Выборки включали следующее число членов: 10, 25, 50, 100 и 200. Общее число вариантов расчета со­ ставило 500 для каждого испытанного распределения (Крицкого— Менкеля и биномиального) и 125 вариантов, относящихся к нор­ мальному распределению (С5 = 0).1

Полученный материал, весьма полно освещающий рассматри­ ваемый вопрос, будет опубликован в специальных научных изда­ ниях. Здесь приведем лишь основные выводы.

оценка выборочных средних

В § 2 настоящей главы отмечалось, что средняя арифметическая представляет собой состоятельную, несмещенную, достаточную и эффективную оценку математического ожидания (х0), или нормы, по принятой в гидрологии терминологии. Средние арифметические

значения (х ), полученные по многочисленным выборкам, входя­

щим в состав генеральной совокупности независимых величин,

1 Расчеты осуществлялись В. М. Зверевой и М. В. Зориным на ЭВМ типа

М-220. В анализе и обобщении результатов расчетов принимала участие В. М. Зверева.

подчиняющейся нормальному закону распределения, образуют ряд, также распределенный нормально, с параметрами:

где <т~ — среднее квадратическое отклонение ряда, составленного из

величин х; ох — среднее квадратическое отклонение генеральной со­ вокупности; п — число членов в выборке.

Приблизительно нормальный закон распределения выборочных средних сохраняется и для выборок, уклоняющихся от нормального распределения, если объемы выборок достаточно велики.

Для статистических совокупностей, обладающих внутрирядной корреляцией между смежными членами (простая цепь Маркова), Крицкий и Менкель [78] получили зависимость

Л ( л - 1 ) (1 =75 (— £ f )

где г — коэффициент корреляции между смежными членами ряда.

Остальные обозначения указаны выше. При г= 0 формулы (5.48) и (5.49), очевидно, совпадают. При малых значениях г формула

(5.49) может быть представлена в виде приближенной зависимости

рекомендуемой для практического применения.

Иллюстрация интегральных законов распределения выборочных средних представлена на рис. 5.6.

Кривые обеспеченности, изображенные на рис. 5.6, построены на основании рядов, смоделированных методом статистических испы­

таний при исходных параметрах1: х —1; Cv= 0,3; Cs=0,6; п=25; N=

= 15 000; Д= 600; ru i +1= 0,0; 0,3; 0,5; 0,9.

Результаты моделирования показывают, что выборочные сред­ ние арифметические при всех исходных параметрах практически не имеют смещения (все кривые обеспеченности пересекаются в точке

х=1 при Р = 50%). Дисперсия выборочных средних увеличивается

с увеличением коэффициента корреляции между смежными членами ряда. Распределение выборочных средних имеет положительную асимметрию, которая увеличивается с возрастанием г.

На рис. 5.6 одновременно с эмпирическими кривыми обеспечен­ ности представлены аналитические биномиальные функции распреде­ ления. Аналитические функции построены на основании параметров

1 По техническим причинам здесь и В дальнейшем при изображении кривых обеспеченностей нанесены не все точки.

.2 9 0

со

*

Рис. 5.6. Кривые обеспеченности выборочных средних, полученных по данным моделированных методом Монте-

Карло рядов (*==1; С„ = 0,3; С»=0,6) с различными коэффициентами корреляции между смежными членами ряда.

1 ~ Г = 0,0, 2 — г —0,3, 3 — г=*0,5, 4 - г - 0 , 7, 5 - г = 0 . 9 .

совокупностей выборочных средних (х-, Cv~, Cs-). Хорошее

согласование эмпирических и аналитических кривых обеспеченно­ стей дает основание весь дальнейший анализ смоделированных ста­ тистических совокупностей проводить на основании использования статистических параметров, соответствующих моделируемым вы­ боркам. Указанный путь использования информации, содержа­ щейся в моделируемых рядах, имеет и то преимущество, что пере­ ход к аналитическим функциям, описывающим смоделированные статистические совокупности параметров, обеспечивает некоторую генерализацию выборочных данных, сглаживая отдельные их слу­ чайные флуктуации. Кроме того, аналитические функции распреде­ ления выборочных оценок (в частности, средних) позволяют пред­ ставить информацию в компактной форме, что открывает техниче­ ские возможности обработки случайных рядов практически неогра­ ниченной длины.

Действительно, при использовании аналитической формы описа­ ния статистических совокупностей ЭВМ в своей памяти сохраняет сведения лишь о параметрах этих совокупностей. Для воспроизве­ дения же эмпирических функций распределения машина должна полностью сохранять сведения о всех членах, образующих ряды рассматриваемых величин. В данном случае статистические сово­ купности представляют собой ряды, состоящие из выборочных сред­ них. Помимо указанного, следует учесть, что размещение членов выборок в ранжированном порядке занимает много машинного вре­ мени. В итоге расчет на ЭВМ эмпирических функций распределения по 600 выборкам занимает около 40 мин машинного времени, а рас­ чет стандартных статистических параметров аналитических функ­ ций распределения по 2000 выборкам — около 5 мин. Следует также учесть, что ЭВМ может одновременно осуществить (по объему па­ мяти) обработку примерно 700 выборок применительно к задаче построения эмпирических функций распределения, а при использо­ вании ЭВМ для оценки лишь статистических параметров выборок число одновременно рассматриваемых выборок практически неог­ раниченно.

Таким образом, принятая форма выдачи из ЭВМ информации в виде стандартных статистических параметров открывает допол­ нительные возможности в использовании метода статистических йспытаний. Приведенные соображения в полной мере относятся и к исследованию законов распределения выборочных коэффициентов вариации, асимметрии, коэффициентов корреляции между смеж­ ными членами ряда, а также ординат кривых обеспеченностей.

Применение метода статистических испытаний для определения стандарта выборочных средних значений позволяет сделать следую­ щие выводы.

1. Применение для моделирования различных функций распре­ деления (Крицкого—Менкеля, биномиального) не сказывается на величинах случайных средних квадратических ошибок выборочных средних во всем диапазоне задаваемых параметров исходного рас­ пределения (С„, Cs/Cv) при различных г и п.

2 9 2

2. На величинах средних квадратических ошибок выборочных средних не сказывается и величина задаваемого исходного соотно­ шения Cs/Cv.

3. Средняя квадратическая ошибка выборочных средних возра­ стает с увеличением коэффициента вариации исходного распреде­ ления, с уменьшением объема выборки и с увеличением коэффици­ ента корреляции между смежными членами ряда. При величинах коэффициента корреляции 0,3—0,5 стандарт выборочных средних возрастает примерно на 30—40%.

4. Расхождения между величинами средних квадратических оши­ бок, полученных по формуле (5.49) и рассчитанных методом стати­ стических испытаний, обычно очень невелики. Они возрастают с уве­ личением коэффициента корреляции между смежными членами ряда и коэффициента вариации исходного распределения. При не­ больших объемах выборок (/г=10), высоких значениях коэффици­ ента вариации (Сг, = 1,0) и коэффициента корреляции (г = 0,5) эти различия составляют 0,05, а при С„ = 1,0 г = 0,7; п —10 достигают

даже 0,1—0,2. Более высокие значения стандарта ошибок выбороч­ ных средних получаются по формуле (5.49), по сравнению с мето­ дом статистических испытаний. Таким образом, при коэффициентах корреляции между смежными членами ряда, не превышающих г — = 0,5, и при числе членов ряда п > 10 рассматриваемые различия не­

существенны и, следовательно, формула (5.49) имеет практически вполне достаточную точность.

Попутно можно отметить, что сравнительно небольшие разли­ чия в оценке случайных средних квадратических ошибок выбороч­ ных средних, полученных независимо, т. е. методом статистических испытаний и на основе теоретической формулы (5.49), являются до­ полнительным подтверждением правильности выполнения статисти­ ческого моделирования.

оценка выборочных коэффициентов вариации

Выборочное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации даже для рядов, не обладающих внутрирядной корреля­ цией, представляют собой отрицательно смещенные оценки пара­ метров генеральной совокупности. Эта смещенность частично уст-

В- работах Е. Г. Блохинова [18] и А. Ш. Резниковского [37] от­ мечается, что величина отрицательного смещения выборочных ко­ эффициентов вариации (средних квадратических отклонений) обычно не превышает 3—4%. Однако это справедливо только, если исходное Cs/Cv^:2. С увеличением отношения C$/Cv смещенность

возрастает, и только при коэффициентах вариации меньше 0,5 сме­ щенность мало зависит от отношения Cs/Cv и остается незначитель­

ной. При других значениях параметров ряда это не так. Например, по данным статистического моделирования для рядов, не обладаю­ щих внутрирядной связью, при СsiСи = 4 и при С„ = 1,0 и объеме

2 9 3