Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

с меньшей точностью, чем по выборке независимых величин такой же численности. Кроме того, на распределение оценок некоторых параметров (коэффициента вариации и особенно коэффициента

Рис. 5.2. Моделируемые методом статистических испытаний последо­ вательности при различных коэффициентах корреляции между смеж­ ными членами ряда.

асимметрии) существенное влияние оказывает величина коэффици­ ента асимметрии или отношения Cs/Cv. Учет этого обстоятельства

также необходим при достаточно полном анализе точности стати­ стической оценки параметров распределения величин, изучаемых гидрологией. Поскольку аналитическое решение рассматриваемой

279

метод статистических испытаний выступает в качестве основного оперативного средства решения рассматриваемой задачи в общей ее постановке.

Статистическое моделирование случайной независимой совокуп­ ности, подчиняющейся определенному закону распределения, по схеме, принятой в гидрологических и водохозяйственных расчетах, осуществляется достаточно просто. Для этого совокупность равно­ мерно распределенных случайных чисел принимается за обеспечен-

X

Рис. 5.3. Схема, иллюстрирующая преобра­ зование равномерного закона распределения в любое заданное распределение.

пости, исходя из которых по заданной кривой обеспеченности опре­ деляются значения величин случайной последовательности с задан­

280

корреляции преобразуется в ряд, обладающий внутрирядной кор­ реляцией. Используя обеспеченности членов такого преобразован­ ного ряда в качестве аргументов, через закон гамма-распределения воспроизводят ряд случайных величин, отвечающих этому закону и обладающих внутрирядной связанностью. Это предложение рас­ смотрено Н. А. Картвелишвили [61] и Г. А. Алексеевым [9]. Наибо­ лее подробно эта схема рассмотрена Г. Г. Сванидзе [129]. Приме­ няя ее более широко, в частности, для группового моделирования гидрологических рядов, Сванидзе называет ее унифицированной методикой статистического моделирования.

2 . Используется совокупность равномерно распределенных слу­

чайных величин (обеспеченностей); эта совокупность преобразуется с помощью специально разработанного И. О. Сармановым [118] аппарата корреляции в ряд, обладающий внутрирядной связанно­ стью. Ряд величин, преобразованных указанным способом, по за­ кону гамма-распределения трансформируется затем в статистиче­ скую совокупность, подчиняющуюся этому распределению. Эта модель широко используется Д. Я. Ратковичем [95—97] при иссле­ довании группировок лет различной водности.

3. Статистическая совокупность случайных величин, подчиняю­ щаяся гамма-распределению, преобразуется в ряд, обладающий внутрирядной связанностью. Преобразование осуществляется с помощью аппарата гамма-корреляции. Эта модель разработана Е. Г. Блохиновым и И. О. Сармановым [25, 118] и использовалась в дальнейшем Блохиновым при исследовании законов распределе­ ния выборочных оценок параметров.

4. В ряд, обладающий внутрирядной связанностью, преобразу­ ется исходная статистическая совокупность, подчиняющаяся гаммараспределепию. Преобразование осуществляется с помощью аппа­ рата нормальной корреляции (предложение Крицкого—Менкеля). Эта так называемая регрессионная модель широко использовалась А. Ш. Резииковским и другими [37] при оценке параметров рас­ пределения и выполнении водноэнергетических расчетов.

Вообще говоря, выбор того или иного способа статистического моделирования должен прежде всего основываться на изучении эмпирических рядов, в частности рядов речного стока, для которых и составляются статистические модели. Не опираясь на материалы фактических наблюдений, из чисто умозрительных заключений, трудно отдать предпочтение тому или иному способу моделирова­ ния. Не подвергая этот вопрос специальному анализу, изложим ре­ зультаты применения регрессионной модели, использованной в ГГИ для выполнения многочисленных расчетов по оценке законов рас­ пределения выборочных параметров и ординат кривых обеспечен­ ностей.1

281

Смысл уравнения (5.36) выясняется из следующих рассужде­ ний. Вследствие наличия корреляционной связи между членами статистической совокупности ряды величин хг-.ц и х* можно рас­ сматривать как две совокупности, связанные линейным уравне­ нием регрессии

Здесь х,+1,уел—-условное математическое ожидание (среднее

значение) ряда величин хг+ь соответствующих заданному значе­ нию Xi\ o*i+1, о*— безусловные средние квадратические отклоне­

ния рядов величин хг-+1 и хг-; х,+ь х*— безусловные математические ожидания (средние значения) рядов величин хш и х*; ritM — ко-,

эффициент корреляции между членами рядов, образованных из ве^

Л И Ч И Н Xi И Хг+1.

Поскольку рассматривается корреляция между членами неко­ торого ряда, смещенными на один порядковый номер (xj и Х ш ) , то

ставляют собой условное математическое ожидание члена кш в за­ висимости ОТ k f .

При моделировании рядов, обладающих внутрирядной корреля­ цией, необходимо учесть случайное рассеивание вокруг указанного

условного математического ожидания (ki+i, усл). Это рассеивание

определяется условной кривой обеспеченности, параметрами кото­ рой являются:

чайной переменной относительно условного математического ожи­ дания. Имея в виду (5.39) и (5.40), уравнение (5.36) можно пред­ ставить в виде:

^и-1= ^ (+ 1+ С г,услФ/+1. -

Вгидрологической литературе рассмотренную схему иногда на­ зывают моделированием внутрирядно связанных величин с исполь­

282

зованием аппарата нормальной корреляции. Указанное название связано с тем, что в данном способе моделирования условная дис­ персия принимается постоянной по равенству (5.40), что, строго говоря, справедливо для нормально распределенных совокупно­ стей.

В частном случае, когда рассматриваются ряды, не обладающие внутрирядной связанностью (г», i+i = 0), уравнение (5.37) прини­ мает обычный вид

для безусловной кривой обеспеченности, об использовании которой для моделирования случайных чисел сказано выше.

Техника моделирования случайной последовательности, обла­ дающей внутрирядной связанностью и подчиняющейся заданному

Генерирование равномерно распределенных случайных чисел в интервале от 0 до 1 осуществлялось по программе, предложенной

В. С. Губенко и А. И. Черкуновым, изложенной в книге В. Д. Ля­ щенко [86]. Длина отрезка апериодичности равна 233— 1 = = 8 589 934 591, т. е. датчик имеет практически бесконечный период,

и, следовательно, используя данную программу, можно получить случайный равномерно распределенный ряд чисел практически бесконечной длины. Ввиду того что таблицы трехпараметрического

Указанное преобразование осуществляется потому, что при до­ статочно больших N в зоны обеспеченностей 0,0—0,001% и 99,9— 10 0 % может попадать сколь угодно много случайных чисел, в то

время как используемые таблицы трехпараметрического гаммараспределения и биномиального закона эти интервалы обеспечен­ ностей не включают.

Принимая полученные равномерно распределенные случайные числа в интервале (0,001—99,9%) за обеспеченности в процентах, входим с ними в таблицу трехпараметрического гамма-распреде­ ления (или биномиального закона) при заданных С* и Cs/Cv

и определяем модульные коэффициенты. Затем по уравнению (5.36)

283