Мл/с км2
Рис. 6.5. Многолетние колебания годового стока р. Сож у г. Славгорода.
/ — н аб лю д ен н ы е д ан н ы е ; 2 — в о сстан о в л ен н ы й сто к по 1 а н а л о гу ; 3 — во сстан о вл ен н ы й с т о к п о 2 а н а л о г а м ; 4 — в о сст ан о в л ен н ы й сто к по 3 а н а л о гам .
уравнение регрессии речного стока в замыкающем створе с дан ными речного стока в пунктах-индикаторах.
Кроме того, известны многочисленные примеры, когда аппа рат множественной линейной регрессии используется для установ ления зависимостей какой-либо гидрологической характеристики (годового стока реки, стока наносов, минимального стока реки, коэффициента внутригодовой зарегулированное™ и других) от факторов, ее обусловливающих.
Математический аппарат линейной корреляции с полным пра вом может быть использован, лишь когда между исходными пе ременными имеют место линейные зависимости или близкие к ним. Оценка линейности связи может быть установлена из физических соображений или на основании предварительного анализа исход ных данных.
Наиболее часто линейность между гидрологическими перемен ными устанавливается графическим путем с одновременным ана лизом наиболее уклоняющихся точек от предполагаемой линии связи. Производя графический анализ зависимостей, следует, как
уже отмечалось, |
с должной |
осторожностью принимать решение |
о нелинейности |
зависимостей, |
так как при малом числе точек |
в поле графика и при значительном их рассеивании кажущаяся нелинейность может оказаться обусловленной случайным располо жением точек. Подобного анализа графических зависимостей обычно бывает вполне достаточно. При этом могут быть исполь зованы также разработанные в математической статистике количе ственные приемы оценки линейности связей. В случае нелинейности исходных связей наиболее перспективным способом установления уравнения регрессии является предварительная нормализация и линеарализация исходных переменных. Некоторые приемы
нормализации гидрологических переменных рассмотрены |
в гла |
ве |
II. |
Более подробно этому вопросу посвящена монография |
Г. |
А. |
Алексеева [9]. В гидрологической практике довольно |
часто |
к линейному виду приводит логарифмическое преобразование переменных.
§ 5
оценка пространственных корреляционных функций гидрологических характеристик (на примере речного стока)
В последнее время аппарат множественной линейной корреля ции начинает применяться в целях пространственной интерполяции гидрологических характеристик и рационализации гидрологиче ской сети. Решение этих задач опирается на использование прост ранственной корреляционной функции рассматриваемого элемента гидрологического режима с оценкой ее статистической однород ности. Кроме того, пространственные корреляционные функции мо
гут оказаться полезными при приведении рядов речного стока к длительному периоду, при анализе синхронности и асинхронно сти колебаний речного стока. Впервые пространственная корреля ционная функция годового стока, представляющая собой коэффи циенты парной корреляции между стоком рек в зависимости от
расстояния между |
центрами |
тяжести |
водосборов, |
использована |
Н. В. Сомовым [136]. В этой |
работе |
пространственная корреля |
ционная функция |
рассчитывалась по |
данным о |
годовом стоке |
крупных и средних рек СССР, расположенных на расстояниях до
9000 км.
Рассчитанные Н. В. Сомовым пространственные корреляцион ные функции позволили оценить синхронность и асинхронность стока крупных рек, которые учитывались при разработке схемы единой энергетической системы, в пределах которой осуществля
ется |
регулирование электроэнергии по проводам. Впоследствии |
Г. П. |
Калинин [58] получил пространственные корреляционные |
функции годового стока некоторых крупных и средних рек зем ного шара. Было установлено, что коэффициенты парной корре ляции (г) с увеличением расстояния (L) убывают. В диапазоне
расстояний 0—2500 км преобладает положительная корреляция между стоком рассматриваемых рек; при дальнейшем увеличении расстояния отмечается в среднем слабоотрицательная корреляция, которая при L— 9000 км равна примерно нулю. Заметим, что эм пирические зависимости r = f(L) обычно получаются при осредне
нии по градациям расстояний большого количества парных коэф фициентов корреляции, что, строго говоря, справедливо для одно родной и изотропной пространственной корреляционной функции, когда отклонения парных коэффициентов корреляции от осредненной зависимости r = f(L) объясняются случайными флуктуациями
выборочных коэффициентов корреляции. В случае же неоднород ности функции r(L) осреднение ее может привести к искажению природной истинной зависимости r = f(L). Оценка однородности
пространственной корреляционной функции особенно важна, если предусматривается использовать r = f(L) при дальнейших стати
стических расчетах, например при оценке точности пространствен ной интерполяции и рационализации сети.
Попытка осуществить оценку статистической однородности про странственной корреляционной функции и использования ее в це лях пространственной интерполяции предпринята Г. А. Алексее вым [9].
Рассмотрим порядок расчета пространственных корреляцион ных функций и оценку их однородности на примере годового стока рек бассейна верхнего Днепра. Отметим, что такой расчет прак тически возможен лишь с использованием ЭВМ. В частности, рассматриваемый ниже пример выполнен по программе, составлен ной на языке АЛГОЛ М. В. Зориным.
Алгоритм программ предусматривает расчеты следующих па раметров:
а) среднего арифметического значения по всем рядам наблюде ний
где пj — объем информации, соответствующий /-тому пункту на
блюдений; б) среднего квадратического отклонения и коэффициента ва
риации по всем рядам наблюдений:
в) коэффициентов парной корреляции за совместный период наблюдений
nbj
2 |
(Х1Ь— xk) (xlj — Xj) |
|
rjk — |
----------------------------- |
, |
,k |
*k*jnkj |
|
где nkj — число совместных лет наблюдений |
между /- и &-тым |
пунктами.
На основании произведенных расчетов по этим формулам мо жно построить зависимости парных коэффициентов корреляции от расстояния между центрами тяжести водосборов для характери стик речного стока и от расстояния между пунктами наблюдений для осадков. Эмпирические точки в поле координат г и L обычно
располагаются довольно широкой полосой.
Рассеивание коэффициентов парной корреляции в поле коорди нат г, L может быть связано со случайными флуктуациями пар
ных коэффициентов корреляции, обусловленными ограниченностью принятых в расчет выборок.
Точность парного коэффициента корреляции при постоянном коэффициенте корреляции для данной градации расстояний (AL)
увеличивается с увеличением числа совместных лет наблюдений,
использованных при его расчете. |
r = f(L) рассчитывались |
средние |
Для наведения линии связи |
взвешенные по числу совместных |
лет наблюдений значения пар |
ных коэффициентов корреляции |
по градациям расстояний |
(AL = |
= 50 км) по формуле |
|
|
где N — число точек в градации.
Линии регрессии r = f(L) в поле эмпирических точек наво
дятся по точкам средневзвешенных значений коэффициентов кор реляции и соответствующих средних арифметических значений рас стояний для каждой градации.
Полученные линии |
принимаются за истинные |
зависимости г — |
= f(L), отвечающие |
природе пространственной |
корреляционной |
связанности рассматриваемого элемента. Принималось, что откло нения эмпирических точек от этой зависимости обусловлены слу чайными флуктуациями выборочных данных. Это предположение, или, что то же самое, нуль-гипотеза, требует статистической про верки. Эту проверку целесообразно осуществить с использованием преобразования Фишера. Это преобразование дает хорошие ре зультаты даже при небольшом числе совместных лет наблюдений и высоких значениях г.
Указанное преобразование с учетом поправки на смещенность
( щ ^ т г ) |
имеет вид |
|
|
|
|
1 +г |
г |
|
1 - г |
2 (п — 1) ‘ |
Выборочные значения 2 распределены по нормальному закону
с дисперсией, определяемой по уравнению (6.20).
Далее рассчитываются значения z ± o z, z±2az, z±3az и, следова
тельно, соответствующие верхние и нижние доверительные гра ницы для каждого фактического коэффициента корреляции г^. В качестве истинного коэффициента корреляции (г„ст) принима ется его значение, снятое с осредненной функции r = f(L). Сопо
ставляя истинные и фактические значения коэффициентов корре ляции и зная верхние и нижние доверительные границы для фактических коэффициентов корреляции, фиксируется количество точек, попавших в интервалы ± а г, ± 2 от, ± 3 аг. Число попаданий
эмпирических коэффициентов корреляции в каждую из указанных областей, выраженное в процентах от общего числа случаев, со поставляется с теоретическими вероятностями для нормального закона распределения.
Если эмпирические и теоретические вероятности оказываются близкими, то пространственная корреляционная функция призна ется однородной, или, точнее, исходная нулевая гипотеза не опро вергается. В противном случае, когда имеет место существенное расхождение между эмпирическими и теоретическими вероятно стями, нулевая гипотеза опровергается и признается альтернатив ная гипотеза — гипотеза неоднородности эмпирической простран ственной корреляционной функции. В таком случае исходное поле рассматриваемого элемента должно быть разделено на более мел кие однородные районы, для каждого из которых необходимо вновь построить пространственную корреляционную функцию и вновь оценить ее на однородность.
Помимо этого основного способа оценки однородности прост ранственных корреляционных функций, могут использоваться и другие более простые, но иногда менее эффективные приемы. К числу этих приемов относятся критерии согласия теоретической функции распределения эмпирическим данным, рассмотренные в главе IV. В случае использования критерия согласия устанавли вается соответствие между теоретической и эмпирической функ циями распределения выборочных коэффициентов корреляции. В качестве эмпирической функции распределения выборочных ко эффициентов корреляции используются парные коэффициенты кор реляции, попавшие в диапазон расстояний (AL = 50 км). За теоре тическую функцию распределения принимался нормальный закон со средним квадратическим отклонением для выборочных коэффи циентов корреляции
V п с р — 1
а для распределения величин z
1
Л'
&
i
где пСр = — ^— ; N — число точек в интервале AL.
В качестве оценки математического ожидания целесообразно принимать среднее взвешенное по числу совместных лет наблюде ний значение парных коэффициентов корреляции (или параметра г) для градации расстояний (AL).
Согласие полученных эмпирических функций распределения теоретическим устанавливалось с использованием критерия Кол могорова. Для решения рассматриваемой задачи могут использо ваться и другие критерии согласия, например %2 или о>2, обладаю щие большей мощностью, но требующие больше вычислительных операций. Установление согласия эмпирической функции распре деления теоретической для градации расстояний AL равносильно
признанию однородности пространственной корреляционной функ ции для этой градации. Если устанавливается согласие эмпириче ских и аналитических распределений для всех AL, то, следова тельно, связь r = f(L) однородна во всем диапазоне расстояний.
Кроме того, оценку однородности пространственных корреля ционных функций по градациям расстояний можно осуществить с использованием Е-распределения Фишера для оценки однород ности эмпирических и теоретических дисперсий. При этом уста навливается однородность эмпирической дисперсии парных коэф фициентов корреляции, вычисленная по обычной формуле
