ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 112
Скачиваний: 1
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА |
155 |
дух может растворяться в воде. Кроме того, если пу зырьки имеют достаточно малый размер, то давление воздуха^ может значительно превышать давление воды Изчза поверхностного натяжения. Если же воздушные пузырьки первоначально относительно большие, то они могут разбиваться на более мелкие..при.внез_эпном силь ном сжатии; это явление наблюдалось эксперименталь-’ 110 [5]. В последующих разделах мы оценим порядки величин этих сложных эффектов, чтобы установить, в каких случаях ими можно пренебречь. Кроме предполо жения о тепловом равновесии и о том, что воздух не растворяется в жидкости, введем другие приближенные модели, которые при некоторых обстоятельствах должны более точно описывать истинное явление.
Б. Поверхностное натяжение
На поверхности раздела газ — жидкость давление изменяется на величину 2o/R вследствие поверхностного натяжения. Здесь R — средний радиус кривизны поверх ности раздела, а о — коэффициент поверхностного натя жения воды, равный 4-10-4 фунт/дюйм при комнатной температуре (уменьшающийся при увеличении темпера туры). Таким образом, для пузырьков радиусом больше чем 10-3 дюйма это изменение давления составляет ме нее нескольких процентов атмосферного давления. Если пузырек воздуха сжимается, его радиус уменьшается и, следовательно, величина 2a/R увеличивается, но не на столько быстро, как внутреннее давление, которое рас тет как I/R3, если воздух подчиняется изотермическому уравнению состояния, и быстрее, если воздух нагре вается. Следовательно, если силы поверхностного натя жения первоначально пренебрежимо малы, то они остаются малыми и при сжатии при условии, что пузы рек воздуха не распадается на гораздо более мелкие пузырьки.
В. Динамические характеристики пузырьков воздуха
Если в воздушно-водяной смеси давление внезапно меняется, то размер пузырьков не может мгновенно под строиться под новое давление и имеется некоторое
156 |
Б. Р. ПАНКИН. Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД |
время запаздывания вследствие инерции воды. Это вре мя запаздывания можно оценить, рассматривая в невяз кой несжимаемой воде, первоначально находящейся в равновесии при давлении рь сферический пузырек воз духа радиусом Ri, к которому в момент t = 0 внезапно прикладывается большое давление /?2. Тогда известно [6], что радиус пузырька R(t) должен описываться уравне нием
^ + i « ! _ [ Pl( 4 L) " - P!] - L , |
(1) |
где точками обозначены производные по времени, р,„ — плотность воды, у — отношение удельных теплоемкостей для воздуха при адиабатическом сжатии. (Для изотер мического сжатия полагаем у = 1.) Для простоты ана литических расчетов положим у = 4/3, что не влияет па вычисление порядков величин. Соответствующие гра ничные условия записываются в виде
R(0) = R] |
(2) |
и |
|
R(0) = 0. |
(3) |
Если ввести обозначения |
|
II
x = t y p2fpwR\,
(4)
(5)
и положить у = 4/3 в уравнении (1), то мы можем вы писать первый интеграл уравнения (1):
Этот интеграл удовлетворяет уравнению (3). Оконча тельно время достижения первого минимума радиуса пузырька можно записать через полный эллиптический интеграл
т е — у У ' З J |
_ r) (r _ ь)(г _ с П г _ = Щ ' |
где Ъ— действительный корень кубического уравнения
г* + г2 + г — 3р{1р2 = 0,. |
(8) |
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА |
157 |
а с и с — два комплексных корня. Видно, что как интер вал интегрирования, так и подинтегральное выражение зависят от величины Ь, которая в свою очередь зависит от р\1р2- Когда эти два эффекта имеют место, они стре
мятся компенсировать друг друга, |
так что, когда p i — |
= 14,7 фунт/дюйм 2, а рг меняется |
в пределах от 30 до |
104 фунт/дюйм2, время схлопывания пузырьков заклю чено в пределах тс = 1±0,1. В дальнейшем будем поль зоваться средним значением тс = 1 ,0 . Возвращаясь к уравнению (5), можем теперь записать время схлопы
вания в виде |
____ |
tc « |
R\ V Рш/Лг- |
Графики этой зависимости приведены на рис. 1. Видно, что времена схлопывания обычно составляют менее 2 мс для пузырьков радиусом менее 1 дюйма.
Времена, показанные здесь, соответствуют времени, при котором достигается первый минимальный радиус. В действительности при схлопывании радиус пузырька скачком переходит к радиусу, меньшему радиуса, соот ветствующего равенству внешнего и внутреннего давле ний, и затем колеблется около этого равновесного ра диуса. Наличие колебаний означает, что времена схло пывания, приведенные выше, занижают оценку времени, которое требуется для достижения равновесного размера пузырьков. С другой стороны, наблюдения схлопывания и восстановления пузырьков кавитации, содержащих воздух, свидетельствуют о быстро затухающем процессе восстановления пузырьков [5, 7]. Поэтому можно с уве ренностью считать, что вычисленные выше времена схло пывания оценивают величину порядка времени, за кото рое статическое давление воздуха и давление воды до стигают равновесия после внезапного схлопывания жидкости.
Теория показывает [8, 9], что сферическая форма воз душных пузырьков является неустойчивой на поздней стадии схлопывания и на ранней стадии восстановления (если пузырьки воздуха не настолько малы, что поверх ностное натяжение стабилизирует их форму). Экспе риментальные фотографии [5, 7] подтверждают, что охлопывающиеся пузырьки действительно принимают
4
Рис. 1. Характерные времена схлопывания и охлаждения для пу зырьков различных размеров.
По оси абсцисс: |
давление после сжатия р2, фуит/дюйм2; |
по оси ординат: |
харак |
||||
Начальные условия: |
= |
терные |
времена, с. |
|
я ,=0,01 |
дюйм; |
|
1 дю йм ;----------- |
Ri=0,/ д ю й м ;-------- |
||||||
■- |
/fo=0,001 |
дюйм. pi = 14,7 фунт/дюйм3, |
7\=210 С. |
|
|||
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА |
169 |
нерегулярную форму, в особенности при наличии асим метричных сил, таких, как сила тяжести. К сожалению, имеющиеся в наличии экспериментальные фотографии не обладают достаточной разрешающей способностью, чтобы определить поведение сильно охлопывающихся пузырьков в окрестности минимума. При восстановле нии, когда пузырьки снова становятся видимыми, они часто имеют вид облака, как будто бы каждый пузырек был разбит на облако мелких пузырьков. Таким обра зом, при любом рассмотрении динамического поведения воздушно-водяных смесей следует учитывать возмож ность того, что быстрое сжатие значительно уменьшает размеры распыленных воздушных пузырьков. К сожа лению, существующие теории и эксперимент не обеспе чивают достаточного критерия для определения момента распада пузырьков. Как указывает Питчер1), экспери менты A. R. Е., в которых достигались более значитель ные перепады давления, чем в работе [3], не дают ни каких эффектов, которые могли бы отождествляться с распадом пузырьков. Однако не ясно, что вероятные эффекты, такие, как увеличение скорости растворения пузырьков под давлением, будут наблюдаться в экспе риментальных установках A. R. Е., даже если имеет ме сто распад пузырьков.
Г. Теплопроводность
При сжатии или расширении воздушно-водяной сме си изменения температуры в воде обычно очень малы (для давлений до 104 фунт/дюйм2) вследствие малой сжимаемости и большой удельной теплоемкости воды, но изменения температуры в пузырьках воздуха могут быть значительными. Поток тепла между воздухом и водой, таким образом, становится важным явлением, ко торое мы рассмотрим приближенно.
В действительности во всех практических ситуациях масса воздуха, а следовательно, и его теплоемкость малы по сравнению с массой и теплоемкостью воды.
’) В частной беседе в Морской исследовательской лаборатории в сентябре 1960 г.
160 Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР. Г. Л. БРОУД
Вследствие этого при рассмотрении теплового потока изменениями температуры во всем объеме воды можно пренебречь. Кроме того, можно показать, что изменения температуры в воде в окрестности пузырька являются достаточно малыми по сравнению с изменениями темпе ратуры внутри пузырька. Чтобы показать это, предпо ложим, что Aq — величина потока тепла от газа к воде за время At. Тепловой поток через поверхность раздела можно записать в виде
Ад |
АТц, |
(10) |
At |
Я w Arw |
где индексы w и а относятся к соответствующим вели чинам в воде и воздухе, а я — коэффициент удельной теплопроводности, АТ — изменение температуры, Аг — расстояние от поверхности раздела. Но Аг связано с At через коэффициент термодиффузии D следующим образом:
И |
|
Arw ~ Y D wAt |
|
|
|
|
(И) |
|||
|
Ага « |
У Da At. |
|
|
|
|
(12) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как D = я/рс, |
где р — плотность фазы, |
а |
с — ее |
|||||||
удельная теплоемкость, то из |
(10) — (12) |
находим |
||||||||
|
|
АТа 1 |
-щ/ |
ХдорадСдо |
|
|
|
(13) |
||
|
|
АТхм \ |
г |
ХаРаса |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
Поскольку |
Kw/Яа - |
10, a |
cw/ca ~ |
4, |
то |
это |
отношение |
|||
температур |
имеет порядок |
6 ]/р ш/ра. |
При нормальных |
|||||||
температуре и давлении pw/pa ~ 800, |
а при изотермиче |
|||||||||
ском сжатии до 104 |
фунт/дюйм2 |
отношение |
pw/pa ~ 2 |
|||||||
(с учетом |
отклонений |
от |
закона |
совершенного |
газа). |
|||||
При сжатии воздушно-водяной смеси температура воз духа вначале повышается, и даже после отвода боль
шей |
части |
тепла |
в воду вследствие теплопроводности |
|||
она |
будет |
более |
высокой, чем |
первоначальная, |
так |
|
что |
рю/ра > |
2. |
Из |
соотношения |
(13) следует, |
что |
| ATJATW\ > |
10, |
и |
изменениями |
температуры в |
воде |
|
можно пренебрегать вплоть до давления 104 фунт/дюйм2. Чтобы оценить время, требующееся для установле ния теплового равновесия, рассмотрим идеализирован-