Файл: Подводные и подземные взрывы сб. ст.pdf

162 6. Р. ПАРКИН, ф. р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД

Г, = 210С и давлением Р\ = 14,7 фунт/дюйм2, а затем сжимаются адиабатически до давления рг (при у = 4/3),

то RIR\ = {p2lP\)~'U и Г/Г, = (р2/р,)'/', так что из уравне­ ния (18) получаем

(2°)

Если охлаждение происходит при постоянном давле­ нии р2, то температура пузырька Г стремится к темпе­ ратуре Г,, а радиус R — к его изотермическому значе­

нию Ri (p2/pi)_ /s. Поскольку при 90%-ном охлаждении основное время протекает тогда, когда пузырьки почти холодные, то уравнение (19) дает

ранее. Видно, что пузырьки, имеющие в начальный мо­ мент радиус менее 0,01 дюйма, охлаждаются почти до температуры воды через несколько миллисекунд или быстрее. Несомненно, что времена схлопывания для та­ ких пузырьков имеют тот же порядок по величине, так что в точной теории при исследовании поведения пу­ зырьков следует рассматривать как динамику, так и тепловые потоки, но это не изменяет вывода о том, что времена установления динамического и теплового равно­ весия имеют порядок нескольких миллисекунд. Для бо­ лее крупных пузырьков времена охлаждения больше, а для пузырьков, радиус которых в начальный момент имеет порядок 1 дюйма или больше, во многих случаях достаточным является адиабатическое приближение (при условии что при схлопывании пузырьки не распадаются на более мелкие).

Измерения Кэмпбелла и Питчера [3] по ударным вол­ нам малой амплитуды в воде с пузырьками воздуха ра­ диусом порядка 0,005 дюйма показали, что давления достигают своих изотермических значений при временах, меньших времени разрешающей способности аппарату­ ры, которое составляет около 2 мс. Это не противоречит величине ^о% = 0,2 мс, данной на рис. 1,

более низких давлений время растворения увеличивает­ ся, так что количество растворяемого воздуха будет пре­ небрежимо малым во всех практически интересных слу­ чаях, если в рассматриваемом потоке пузырьки воздуха не распадаются на более мелкие.

Е. Уравнения состояния для воздушно-водяных смесей

Приведенные выше рассмотрения различных «рела­ ксационных» процессов, которые могут иметь место в воздушно-водяных смесях, позволяют определить, когда такие процессы можно не учитывать и характеризовать смесь простым уравнением состояния. Во-первых, оче­ видно, что аппроксимация уравнения состояния справед­ лива только на масштабах времени, больших по сравне­ нию со временем колебания пузырька (или охлопыва­ ния). Эти времена включают большое число практически интересных случаев. Во-вторых, релаксацией темпера­ туры можно пренебрегать в двух предельных случаях: очень быстрой релаксации (теория теплового равновесия) и очень медленной релаксации (теория изолирован­ ных пузырьков). В случае когда релаксация температу­ ры является медленной, процесс растворения воздуха замедляется, так что пренебрежение этим процессом яв­ ляется оправданным. При быстрой тепловой релаксации процесс растворения воздуха может быть либо быстрым, либо медленным. В целом мы имеем три следующих случая:

1)тепловое равновесие без растворения воздуха;

2)изолированные пузырьки (растворения не происходит);

3)тепловое равновесие и равновесие процесса рас­ творения.

Соответствующие соотношения для первых двух слу­ чаев будут даны ниже. Мы не будем рассматривать третий случай в общем виде, а ограничимся рассмотре­ нием (в большинстве имеющих практическое значение) тех случаев, в которых процесс растворения воздуха яв­ ляется быстрым только тогда, когда пузырьки разби­ ваются интенсивными ударными волнами с давлением, достаточно высоким, чтобы растворить пузырьки. По-

166 Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР. Г. Л. БРОУД

где р — плотность смеси. Исключая ра из уравнений (25) и (27), получаем уравнение состояния для смеси

Для теории теплового равновесия (при отсутствии про­ цесса растворения) и теории изолированных пузырьков уравнение (28) описывает термодинамическое состоя­ ние смеси в каждый момент времени. Если смесь, под­ чиняющаяся теории растворимых пузырьков, внезапно сжимается, то уравнение (28) справедливо только до сжатия. После сжатия термодинамическое состояние описывается уравнением (26).

Для вывода калорического уравнения состояния в рассматриваемом приближении можно предположить, что удельные теплоемкости воздуха и воды не зависят от температуры. В теории теплового равновесия измене­ ние внутренней энергии на единицу массы смеси выра­ жается формулой

обеих фаз). В практических случаях масса воздуха обычно намного меньше массы воды, так что в рассмот­ рение нужно включать только изменение энергии воды.

Для теории изолированных пузырьков можно запи­

единицу массы; AEw можно заменить величиной сД7\», но в любом случае мы имеем дополнительную тер­ модинамическую переменную (Ew или Tw) для смеси по сравнению с обычной жидкостью. Для решения задач о течении жидкости должны быть получены дополни­ тельные соотношения, содержащие термодинамические параметры. Для невязких адиабатических течений изме­ рения энергии водь! обусловлены работой обратимого