ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 116
Скачиваний: 1
168 Б. Р. ПАРК.МН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
очень высоких давлениях остаточный объем сжатых пу зырьков настолько мал, что даже значительная ошибка при вычислении этого объема оказывает малое влияние на рассчитанные свойства потока.
В теории, учитывающей растворение пузырьков, толь ко начальная плотность (до сжатия) зависит от темпе ратуры. После сжатия плотность смеси равняется плот ности воды без пузырьков воздуха, определяемой по формуле (26). Хотя энергетический баланс может быть выписан и в этом случае, течение определяется без это го соотношения.
IV. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ И УДАРНЫХ ВОЛН В ВОЗДУШНО-ВОДЯНЫХ СМЕСЯХ
А. Скорость звука
Скорость звука в жидкости определяется формулой С2 = dp/dp. Для воздушно-водяной смеси при тепловом равновесии Та = Tw, а в случае, когда отношение масс воздуха и воды мало, температура постоянна. Диффе ренцируя уравнение (28) и исключая Та при помощи уравнения (25), получаем
С2= JL [l - (l + [i) р,р(1 + plk)2] . |
(32) |
Приравнивая производную по р от выражения (32) нулю (чтобы определить относительное содержание воз духа, при котором скорость звука будет минимальной), с очень хорошей степенью точности находим, что для любого р из рассматриваемого диапазона значений ве личина С будет минимальной, если р = ра/р*. Это усло вие выполняется, если половина объема смеси занята воздухом. При давлении 14,7 фунт/дюйм2 и температуре 21 °С отношение р = 1,26-10-3. Величины р, превышаю щие это значение, не будут рассматриваться в данной работе. Изменения скорости звука в зависимости от давления для трех различных значений р приведены на рис. 2. Линия р = 0 («нет воздуха») соответствует ско рости звука в чистой воде при температуре 21 °С, т. е.
С* = У Щ = 4720 ф ут/с. |
(33) |
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА |
169 |
Если мы хотим вместо предположения об изотермичности использовать соответствующее другому предель ному случаю предположение о тепловой изоляции пу-
Р и с. 2. Изотермическая скорость звука в воздушно-водяной смеси при температуре 21 °С; j i — отношение массы воздуха к массе воды.
По осп абсцисс: абсолютное давление, фунт/дюИм2; по оси ординат: изотерми ческая скорость звука, фут/с.
зырьков, то необходимо использовать адиабатическое соотношение
d,Tg __у — 1 dp
(34)
Та ~ Y У
где у — отношение удельных теплоемкостей для воздуха. Дифференцирование уравнения (28) дает
2 _ _ у р _ Г _______р_________1 |
/ , |
УPlk )1 |
. (35) |
||
р i |
(1 + д)р* i + p /k V |
1 + P lk |
|||
|
|||||
170 Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
Б. Ударные волны
Выведем соотношения на прямой ударной волне в рассматриваемой среде посредством обычного анализа, при котором ударная волна связывается с системой ко ординат, а поток жидкости втекает в нее. Пусть индекс 1
рг ,щнт/дюймг
Р ис. 3. Скачок температуры за прямой ударной волной в воздуш но-водяной смеси, вычисленный по теории теплового равновесия между пузырьками воздуха и водой.
По оси абсцисс: давление за ударной |
волной |
фунт/дюйм5; по оси ординат: |
скачок температуры за |
ударной |
волной ДТ, °F. |
относится к величинам в потоке перед ударной волной; так, Ui, pi, pj и Ti обозначают скорость частицы, ста тическое давление, плотность и температуру в смеси до прохождения ее через скачок. Индекс 2 относится к зна чениям этих величин за ударной волной. В выбранной системе координат запишем уравнение неразрывности
Р\Щ= Р2«2 |
(36) |
и уравнение количества движения
Р\+ |
= Рг + W l- |
(37) |
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА |
171 |
Уравнение состояния (28) (или уравнения (26) и |
(28) |
для растворяющихся пузырьков) можно также записать для состояний 1 и 2. Таким образом, уравнение энергии запишется в двух видах, соответствующих теории теп лового равновесия (уравнение (29)) и теории изолиро
ванных |
пузырьков (уравнение |
(30)), а |
именно |
||||
Pj_ , _^i_ |
|
~т— Д7\ |
|
|
|||
■+ < |
+ |
и |
|
|
(38) |
||
Pi |
2 ' Р2 |
М.С„ |
д г |
|
|||
|
|
I |
1+ |
р |
|
(1 +Р) |
|
где АТ — Т2— Ти a |
AEw дается |
формулой |
(31). Для |
||||
теории |
растворяющихся пузырьков |
уравнение энергии |
|||||
не требуется. |
|
|
|
|
|
для случая |
|
Комбинируя уравнения (28), (36) — (38) |
|||||||
теории теплового равновесия, находим скачок темпера туры смеси
|
|
_е г2 - 1 |
|
р,рг |
m________ 1_______] |
|
|
ЕТ _ |
^ |
m 2г |
Г. |
■ |
n q \ |
||
Тi |
|
г + I |
fi B |
' |
PP*ft |
B T i (1 + p,/ft)(l + p2/ft)J ’ ' |
’ |
|
+ |
2r |
in |
|
|
|
|
где r — p2lpi — отношение давлений1). Значения AT, вычисленные по этому уравнению, показаны на рис. 3 для трех значений р. Очевидно, что относительное из менение температуры AT/Ti составляет только 6% в рас сматриваемом предельном случае.
Для случая изолированных пузырьков
|
В |
г 2 — 1 |
|
|
|
|
|
ДГа _ |
m |
2г |
О . |
Р1 Р2 |
m Г |
1 |
, |
Г, |
. , |
г + 1 В |
Г Г |
lip’A |
B T i l ( l + P i/k)(\ + p 2/k) |
l i _ |
|
2Г / 2 Рг — Pi |
3 Р2 |
Р[ |
4 pi |
р^ |
|
||
Т^ПЛУ |
ft |
Т |
iP |
г У |
ft® |
|
|
Численные результаты для этого уравнения показаны на рис. 4. Участок кривой при более высокой температуре, где предположение о постоянстве cv вносит ошибку бо лее 10%, показан пунктирной линией.
*) Это обозначение не следует путать с предыдущим т= RIRt.
172 Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
го |
ю г |
ю 3 |
ю* |
|
|
р2, фунт/дюйм3 |
|
Р и с. 4. Скачок температуры |
в пузырьке воздуха за |
прямой удар |
|
ной волной по теории изолированных пузырьков.
Обозначения см. под рнс. 3; начальные условия: р1= М,7фут/дю11мг, Г,=21 °С
ндалее до рис. 31.
Вслучае теплового равновесия пузырьков и воды скорость Ui движения ударной волны в неподвижной воздушно-водяной смеси дается выражением
___________________________ P i ! Pi_______________________________
____________ Pi_______________ Г.___________Pi |
1 1 |
АГ |
(1+и)р*(1+/>,/Ж 1+л/й) L (1+ h) p *(I+/>i/*)J r - \ |
r x |
|
Ml)
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА |
173 |
Это выражение можно применить также и к случаю теплоизолированных пузырьков, если отношение ДТ’/7't заменить отношением АТа1Т±. В интересующих нас слу чаях p j k < 1, вследствие чего выражение (41) упро щается:
/2 |
Р z/Pi |
|
|
(41a) |
|
1- |
_______Pi______ |
. f i ______ Pi____1 - L |
ДГ ' |
||
|
|
||||
(1 + р)р*(1 + pjk)' |
L (i + p)p*Jr- |
1 T, |
|
||
Кроме того, в предположении теплового равновесия не трудно показать, исходя из соотношения (41а) и рис. 3, что членом, пропорциональным АТ/Ти можно прене бречь. В случае теплоизолированных пузырьков это от ношение нужно заменить отношением ATJTi и прене брегать этим выражением уже нельзя.
Для того чтобы сравнить эти две теории, нужно найти отношение скоростей ударных волн для равно весного и теплоизолированного случаев при условии,что начальное состояние перед ударной волной и давление за ударной волной одни и те же в обоих случаях. Ре зультаты таких вычислений при нормальных темпера туре, давлении и плотности показаны на рис. 5. Видно, что разница между скоростями ударных волн всегда ме нее 20%, а при высоких отношениях давлений составляет только 10%. Иногда, наоборот, может потребоваться сравнить давления на ударной волне, вычисляемые при двух различных предположениях, когда начальные со стояния и скорости ударных волн одинаковы. В инте ресующих нас областях величина p 2/k много меньше
единицы, тогда |
в силу уравнения |
(41а) р2 будет |
про |
порционально |
и \ш Следовательно, |
показанную на |
рис. 5 |
относительную разницу для Ui нужно удвоить, чтобы по лучить оценку разницы для р2 при фиксированном значении щ.
В предыдущем анализе ударная волна рассматрива лась как переход от состояния 1 к состоянию 2 на рас стоянии, малом по сравнению с размерами поля тече
ния, так что толщиной |
переходной |
области |
можно |
|
было |
пренебречь. Однако |
в действительности ударные |
||
волны |
имеют ненулевую |
толщину, и |
ударные |
волны |
174Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД
ввоздушно-водяной смеси особо размазаны на ширину мелкомасштабных неоднородностей смеси. В частности,
переходная область ударной волны должна иметь
to |
го |
so |
юо |
гоо |
soo юоо гооо |
sooo wood |
Р и с. 5. Сравнение скоростей нормальной ударной волны, вычислен ных по теории теплового равновесия и теории изолированных пу зырьков.
По оси абсцисс: давление за ударной волной р2, фуит/дюйм2; по оси ординат: отношение скорости ударной волны по теории изолированных пузырьков к скорости ударной волны по теории теплового равновесия.
ширину по крайней мере нескольких диаметров пузырьков или нескольких расстояний между ними. Кроме того, динамический эффект от схлопывания и колебания пу зырьков будет размазывать ударную волну на расстоя ние, равное скорости ударной волны, умноженной на
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА |
175 |
время порядка tc (см. рис. 1); это расстояние обычно составляет около 10 диаметров пузырьков.
Если имеет место теплопроводность в значительной степени, то она будет также увеличивать переходную область. Если характерные времена теплопроводности велики по сравнению с временами схлопывания пузырь ков, но не настолько, чтобы теплопроводностью можно было пренебречь, то профиль давления можно разделить на две части. Первая часть, толщиной порядка несколь ких диаметров пузырьков, имеет крутой профиль и дает скачок давления, соответствующий теории теплоизоли рованных пузырьков. Затем профиль давления стано вится более пологим с перепадом давления в 20—30%, так как пузырьки охлаждаются и давление стремится к значению, соответствующему тепловому равновесию при том же самом значении скорости ударной волны. Пологий профиль давления имеет место на интервале времени порядка ^о%, показанного на рис. 1, которое соответствует расстояниям от нескольких дюймов до не скольких футов для рассматриваемого диапазона значе ний параметров смеси.
Вышеприведенные рассуждения применимы только в случае, если пузырьки не распадаются на такие мелкие части, которые очень быстро растворяются. Когда пу зырьки растворяются и, следовательно, за ударной вол ной находится только вода, тогда соответствующие соотношения на ударной волне можно получить из урав
нений (36) и (37) с использованием формулы (28) |
пе |
||
ред ударной волной и формулы (26) за |
ударной |
вол |
|
ной. Для |
скорости ударной волны в этом |
случае имеем |
|
2 |
(1 — p 2/ k ) (р 2 — Pi) [pi — н ( B T p * / m ) (1 + P i / k ) ] 2 |
|
|
1(1+|х)р*(1+р./Л )р,Х
*1>2 ~ ^1W 1+^{(ВТрЧт)(1 + р2/6)-р,}(1 .+ ?,/£)]
(42)
При 1 это выражение упрощается:
, . 2 |
_________ (1 + Pi/k) (Ра — Pi) (Pi + V-BTp*/m)2________ |
, |
J |
(1 + p )p > i[(/> 2 — Pi)pi/k+(iiBTp*/m)(,l + p2/k) — v-PiY ^ |
' |