Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

S I ]

НАТУРАЛЬНЫЕ, ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Ц7

4)

(я ^

от)

:э ((я =

т)

V (« >

т));

б)

(я

от)

:э ((я =

от)

V (" <

w));

6)

(ft =

яг) =з ((я >

т )

& (п <

т));

7)

((« >

от)

& (от >

я)) =з (от =

ft);

9)

((я бот) & (я =

я,) & (т = от,))

=э (я, бот,) (в 8) — 9)

б означает

любой из

знаков = ,

< ,

> ,

] » ;

CTJ\

агк

<Т/>

«1/1

<т/1

10)

(я =

m) ID (от =

с№

с/О

c/t>

е/Х"

cAv*

я).

(n — m)V(n>m)\/{n<

от).

Используя

разрешимость

отношения

да

нетрудно

с помощью теоремы

разветвления

п.

7 §

1 гл. 1 по­

строить алгорифмы min

и

max такие, что

да да

min (я, от) ==

п,

если

я

^ от,

от,

если

ОТ < ft,

да

max

(ft, от) =

я,

если

ОТ ^ Я ,

от,

если

ft < от.

да

Обозначим

через

+

и

•

алгорифмы,

построенные

(2)

+ ( / » , я | ) = + (от, ft)|,

да да

И8

КОНСТРУКТИВНЫЕ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ

ЧИСЛА

[ГЛ. 2

Алгорифмы

+ и

•

будем

называть

соответственно

операциями

сложения

и умножения

натуральных

чисел.

Натуральные

числа

+

(п, т)

и

• (п,

т) называются

эс

эс

2.

Целые числа. О п р е д е л е н и е

3. Слово Р <= Ч

называется

целым

числом,

если Р является

натуральным

числом

или

имеет

вид

Р = — п, где

п —

натуральное

число,

отличное от 0.

Если же р=—п

ц

(« — натуральное число), то mod (/?)== я.

, , .

там, где это не

может

Ц

недора-

Вместо mod (р)

вызвать

зумений,

ц

использоваться

запись

| р |.

будет

(отрицатель­

Целое

число

назовем неотрицательным

ным),

если

оно

является

(не

является)

натуральным

числом.

О п р е д е л е н и е

4

(отношения равенства

и

порядка

на множестве целых чисел).

а)

Целые

числа

рх

и р2

называются

равными

(запись

Pi=Ps),

если

Pi~p2.

ц

Целое

число

рх

меньше

целого

числа

р2

(запись

б)

Pi <

Pz),

если выполняется

одно

из следующих

условий:

$ 1]

НАТУРАЛЬНЫЕ, ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

119

1)

Pi — отрицательное,

а р2

— неотрицательное

целое

число;

Pi, Рг~

неотрицательные

и р1 < р2;

2)

3)

Ри

р2 — отрицательные

целые

числа и | р, | >

| р21.

зе

в)

Целое

число

р{

больше

целого

числа

р2

(запись

Pi > Р2), если

р2 меньше ри

ц

Целое

число

рх

не

меньше

(не

больше)

целого

г)

числа

р2,

если

~] (ру

< р2) (соответственно

~] (р{

> р2)).

Запись: р\ ^

р2

ц

рг^Срг)-

ц

(соответственно

ц

= ,

< ,

> ,

ц

Отношения

ц

так же как и одно-

ц

ц

ц

ц

+

(Рь P2 )=p + (Pi, р2У,

ц

ас

+ (Ри

Р2 )=т= — + ( I P i I. IPttl);

и

и

120

КОНСТРУКТИВНЫЕ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ

ЧИСЛА

[ГЛ. i

3)

если

pi — отрицательное, а

й — неотрицательное

целое число, то

— (Pa,

I P i l ) .

е с

л и

P 2

> \ P i \ ,

+ (Pi.

Р2)-

- d P i l , р2 ).

если

p 2

< I P i l ;

Ц

4)

если

р\ — неотрицательное,

а р 2 — отрицательное

целое число, то

+ (Pl> />2)=7= + (р2 , Pi)-

Построим алгорифм

• типа

(Ц2

—*• Ц)

так,

чтобы

для любых целых чисел р\,ц р 2

выполнялось

1)

если рь р 2 — натуральные числа, то

• (Pi,

Р2)=г=

• (Рь

р2 );

2)

-(0, р2)=?=

-(Рь 0) =

0;

3)

если

оба числа

pi, р 2

отличны

от 0 и в точности

одно из них отрицательно, то

д

а?

Слово

Q

3. Рациональные

числа. О п р е д е л е н и е

5.

в алфавите

Ч называется

рациональным

числом,

если

Q

является целым числом

или Q =

pi/p2 , где р ь

р 2 — целые

числа, причем

р г ^ О .

Ч, являющихся

Множество

слов

в

алфавите

рацио-

,нальными

числами,

будем

обозначать

через

Очевид­

но, множество 3* разрешимо.

В качестве переменных по рациональным числам мы

будем использовать

буквы г, s с индексами

или без ин­

§ 1]

НАТУРАЛЬНЫЕ,

ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

121

В

этом пункте

мы будем использовать

следующие

обозначения. Если

г—рациональное

число

и r = p i / p 2 ,

ло, а через г — натуральное число

0|.

О п р е д е л е н и е

6 (отношения порядка и равенства

на множестве рациональных чисел).

1)

Рациональные

числа

г,

и

г2

называются

равными

(запись

гх

=

г2),

если

гх

• г2

=

г2-

и

гх.

-

ц

ц

-

2)

Рациональное

число

гх

меньше.

гх

рационального

числа

г2

(запись

г,

<

г2),

если

а)

- г2

>

г2 • гх

и

гг

-

ц

ц

-

ц

гх ц• г2

>

0

или б)

-тхц• г2

<ц

-г2 ц• гх

и

гх-ц Т2<

0.

3)

Рациональное

число

гх

больше

рационального

числа

г2

(запись

гх>

г2),

если

г2

<

гх.

4)

Рациональное

число

гх

не

больше

(не

меньше)

рационального

числа

г2

(запись

соответственно

rx ^

г2

"

ri^r2),

если

~\(гх>г2)

(соответственно

~\(гх<г2)).

з>

&

Очевидно, введенные отношения являются разреши­

мыми. Для них может быть переформулирована

теоре­

ма

1 §

I , иначе

говоря,

имеют

место следующие

утвер­

ждения.

2.

Каковы

бы

ни

были

рациональные

Т е о р е м а

числа

г, rx,

s, sx,

имеет место

1)

(r =

s) V(r>s)

V(f<s);

2)

(гфз)^

((r >s)V(r<

s));

SP

0"

&

4)

( r > s ) z D ( ( r

= s)

V(r>s));

5)

( r < s ) = > ( ( r = s ) V ( r < s ) ) ;

&

0*

6)

(r = s)=>((r

> s ) & ( r < s ) ) ;

7)

( ( r > s )

& (r<s))=>(r

= s);

<f7>

<P

8)

((rbs)

&(s6sx))zD(r6s1);