Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Нетрудно показать, что

m i n ( r „ < ' « + ' » > - l ' i - * l .

в основу построения системы конструктивных действи­ тельных чисел. На получающиеся системы действитель­ ных чисел естественным образом распространяются с системы рациональных чисел отношения равенства, по­ рядка и арифметические операции (причем последние могут быть заданы алгорифмами). Каждая из этих си­ стем в различной степени соответствует интуитивному представлению о том, что вычислимое (конструктивное) действительное число должно быть объектом, сколь угодно точно аппроксимируемым рациональными чис­ лами.

С этой точки зрения наиболее естественным пред­ ставляется понятие FR-чшпа. Индивидуальное задание FP-числа содержит в себе исчерпывающую информацию о последовательности рациональных приближений к это­ му числу и о скорости сходимости этих рациональных приближений.

Индивидуальное задание F-числа (квазичисла) по­ зволяет лишь вычислять члены фундаментальной (ква­ зифундаментальной) последовательности рациональных чисел;- в этом задании не содержится, вообще говоря, никакой информации об эффективной оценке скорости сходимости упомянутой ПРЧ (т. е. о регуляторе сходи­ мости в себе этой ПРЧ) . Ясно, что такое различие со­ держащейся в индивидуальном задании РР-чисел и F-чисел (квазичисел) информации приводит к сущест­ венной неравноценности этих объектов как исходных данных для тех или иных алгорифмов (ср. § 2 гл. 4). Что же касается псевдочисел, то, как будет показано ниже (§ 3 гл. 3), последовательность рациональных чи­ сел, извлекаемая из задания псевдочисла, может вообще

*) В качестве синонима этого термина в литературе исполь­ зуется часто термин «дуплекс».

**) Наши определения отличаются от соответствующих опреде­ лений Н. А. Шанина несущественными техническими деталями.

не допускать никакой эффективной оценки скорости схо­ димости. Таким образом, можно привести пример псевдочисла, не являющегося F-числом (а следователь­ но, и квазичислом). Это псевдочисло не может быть, очевидно, дополнено до FR-числа * ) .

Несколько менее очевидна разница между ^-числа­ ми и квазичислами. В самом деле, непосредственно из определений 3 и 6 следует, что нельзя построить квази­ число, которое не являлось бы F-числом. Однако тогда

жен. Нетрудно привести примеры квазичисел, для которых в настоящее время неизвестно доказательство того, что они являются Р-числами * * ) . Другое различие между F-числами и квазичислами, также связанное с конструктивным пониманием математических сужде­ ний, можно пояснить следующим примером.

Пусть алгорифм 9Г переработает всякое натуральное

рифма 93 такого, что при любом л алгорифм 23„ являет­ ся регулятором сходимости в себе той ПРЧ, записью которой является 91' (п). Для доказательства же утвер­ ждения, что 91 является алгорифмом типа ( ^ - v #~г),

*) Будет построено также псевдочисло, которое не равно (в не­ котором естественном смысле) никакому FR-чпслу.

**) Нетрудно, в частности, привести пример такого квазичисла, для которого решение этой задачи давало бы решение проблемы Ферма.

Очевидно, для любого рационального числа г при всяком натуральном п выполняется

г[п) == г,

г (п) = п.

Ниже вместо х(х(п)) мы будем часто использовать более короткую запись х„.

§ 3. Отношения равенства и порядка на множестве КДЧ

над рациональными числами, все введенные только что отношения не являются разрешимыми.