Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл (14,18Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 168

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

122 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 2

9)	((г 6s)	& (г =	г,) & (s = sO) zd		(г, 6s,)		(в	8) и	9)
б обозначает		любой	из знаков	=,	<,	>,		^);
10)	(г = s) => (s =		г).	^>	&	з*	З1	3
10)	(г = s) => (s =		г).
	з	з
Очевидна		также	следующая
Т е о р е м а		3. Каково бы		ни	было		целое	число	р,

Р= рЮ |.

з-

Из разрешимости отношений = , < , > , *С ^ вы-

текает					3	3	3	3	3
текает			4.	Пусть	б — любой	из	знаков		=,	<,
	Т е о р е м а		4.	Пусть	б — любой	из	знаков		=,	<,
									з-	з-
>,	3"	Для		любых	рациональных		чисел	ги	г2	вы-
3"	3"	8*
полняется				11 (П 6г2 ) = г, 6г2 .
				11 (П 6г2 ) = г, 6г2 .
	Переходим к определению арифметических операций
над рациональными числами.
	Построим		алгорифм		+ типа (dil-^-0i)		таким		обра-

зом, чтобы для любых рациональных чисел г, s выпол нялось

1) если г, s — целые числа, то

+ (г, s) == + (г, s);

3Ц

2)если хотя бы одно из г, s не является целым чис лом, то

+	(г, s) =т= +	(г • s,	г • s)/r	• S.
3>	ц	-ц	ц-	ц

Построим алгорифм з• типа (^, 2 ->-5э ) такой, что для любых рациональных чисел г, s

1)	если г, s — целые числа, то
	• (г,	s) — •		(г,	s);
	з		ц
2)	если хотя бы одно	из г,	s	не является целым чис
лом, то
	• (г, s) = г		• s/r		• S.

~ц~

5 1]	НАТУРАЛЬНЫЕ,		ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА		123
	Построим	алгорифм — такой, чтобы для любых г, s
		- ( г ,	*)==. + ( Л - ( - 0	1 , s ) ) .
	Построим	далее	алгорифм «об»	типа	такой,

что при любом рациональном г 1) если г = 0, то ~]!об(г);

<?>

2) если г Ф 0, то

об (г) == г/г.

Построим алгорифм : типа (5 Э 2 - ^5 Э ) таким образом,

чтобы для любых рациональных чисел г и s выполня лось

: (г, s) ~ • (г, об (s)).

.г1 ^

Очевидно,

! : ( r , s ) s j ^ 0 .

<?>

.0»

Алгорифмы + , —, •, : будем называть соответствен-

&& & &


но операциями		сложения,	вычитания,	умножения		и	де
ления	рациональных чисел. Вместо записи				б (г, s)		(где
б — знак одной		из только что введенных операций) мы
будем	часто использовать		более привычную		запись		r6s.
В тех случаях,		когда это не может вызвать			недоразуме
ний, индекс		в знаках	отношений	равенства		и по

рядка и в знаках арифметических операций будет опу скаться.

Арифметические операции над рациональными чис лами, как нетрудно показать, сохраняют равенство рациональных чисел. Операции сложения и умножения обладают свойствами коммутативности и ассоциативно сти. Выполняются также распределительные законы для умножения относительно сложения и вычитания. Фор мулировка соответствующих свойств предоставляется читателю.

Непосредственно из определений арифметических операций и отношений равенства и порядка вытекают следующие утверждения,

124	КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА		[ГЛ. 2
Т е о р е м а 5. Каковы бы ни были		рациональные
числа	г и s

1)г + ( ( - 1 ) т ) = 0;

2)г + 0 = г;

3)г - 1 = г ;

4)r:l=r;

если

s ф

О,

то

s: s =

s • об (s) =

если

s=£0,

то

s • (г: s) =

г.

Имеют

место и обычные

свойства

неравенств.

Т е о р е м а

6. Пусть б—любой из знаков

<!,

г2,

гi,

s2 — произвольные

рациональные

числа.

Тогда

(г, +

s) б (r2 + s);

если

г{Ьг2,

то

&•

если

Г[ 6г2

О,

го

(г, • s) б (г2

• s);

если

г, бг2

s < О,

го

(г2

• s) б (г,

• s);

если

Г] бг2

s, 6s2,

то

(гг

+ «i) б (г2 +

«г);

если

г1 бг2 ,

s, 6s2

г, >

г2

О,

>& 0,

то

&•

(Г, • 5,) б (г2

• S2).

Обозначим

через

mod

алгорифм

алфавите

со

схемой

Очевидно, mod является алгорифмом типа (^'->^5 ).

Для любого рационального числа г рациональное число

mod (г)	будем называть		модулем,	или	абсолютной	вели-
чиной г.	Вместо записи		mod (г)	мы будем, как правило,
			0
использовать запись		\| г \^ или просто			\| г \|.
Непосредственно		из	определения		алгорифма	mod и

определений отношений порядка и равенства рациональ-

§ 1]

НАТУРАЛЬНЫЕ, ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

125

ных чисел и	арифметических	операций усматриваются
следующие утверждения.
Т е о р е м а	7. Для всякого	рационального	числа г
1) \| г \| > 0	и \г \| = 0 = г = 0;

2)г < | г | ;

3)(r = | r | ) s ( r > 0 ) ;

4)	\| r \| =	\| - r \| .
Т е о р е м а			8.	Для	всяких				рациональных чисел t, s
1) \| r - s \| = \| r \| - \| s \| ;
2)	если	s Ф	О,	то \| г: s				\| = \| г \|: \| s \|;
3)	l \| r \| - \| s \| \| < \| r +				s \| < \| r \|				+ \|s\|.
Построим алгорифм max такой, что для любых
рациональных			чисел г ь			г2
		max (г,, г2 ) = .					.	г,,	если	г , ^ г 2 ,
		max (г,, г2 ) = .				I	.	г2 ,	если	Г[ <; г2 .
		,9»				I		г2 ,	если	Г[ <; г2 .