Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД КДЧ

149

Л е м м а

1.

Каковы

бы

ни

были

алгорифмы

SI1,

212,

213, можно построить алгорифмы

ЗЗ1,

ЗЗ2,

ЗЗ3,

ЗЗ4

так, что

для любых

КДЧ

х, у и любого

натурального

п

ЗЗ1 (х,

у,

п) ~

311 (х (%2 (я)),

у (%3

(п))),

W(x,

у,

п) ~

311 (х(%2(п)),

у(%Цп))),

233(х,

y)~i%\,yl,

Ъ4(х,

у)с~Ь®х,уЪ.

2. Операции сложения, вычитания; абсолютная ве­

личина. О п р е д е л е н и е

1.

Будем

говорить,

что ПРЧ а

является

суммой

(разностью)

ПРЧ

ось

а2 , если

при

лю­

бом п

а (п) =

ct] (п)

- j -

а2

(я)

(соответственно

а(п)

=

щ (я) — а 2

(п)).

Л е м м а

2.

Пусть

а ь

аг,

а—ПРЧ,

причем

а

яв­

ляется суммой

(разностью)

ПРЧ

а ь

аг. Пусть далее

Рь

Рг — регуляторы

фундаментальности

соответственно

а\

ы аг, а Р — ПНЧ

такая, что при

любом

п

(1)

р(я) =

т а х ( р , ( « + 1 ) ,

р 2 ( л + 1 ) ) .

ЭС

Тогда

р — регулятор

фундаментальности

а.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим,

например,

слу­

чай, когда а является суммой а\ и а2 . Фиксируем про­

изводное

я. Пусть

i,

fe^p(rt).

Ввиду

(1)

тогда

(2)

I a,

(k)

-

а, (/) |

и

(3)

\a2(k)-a2(i)\<2-n-\

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

НАД КДЧ

151

любых КДЧ х, у

+

(Х,У): .

х + у,

если

&(х,

г / ) = Л ,

сл( 3 ) (х, у),

если

(i (х,

у) Ф

А;

{

х — у,

если

6 (х, у) =

Л ,

s

I

вч( 3 ) (л;, у),

если

<£(*,

у)фА.

Ввиду

леммы

2

алгорифмы

+ и

— являются

алго-

(£Ь2-^-3)).

з>

з>

рифмами

типа

Эти

алгорифмы мы

будем

тивных действительных

чисел.

О п р е д е л е н и е

2.

Будем

говорить,

что ПРЧ

а

яв­

ляется

абсолютной

величиной

(или

модулем)

ПРЧ

ось

если при

любом

п

а (я) =

| а, (я) |

Л е м м а

3. Пусть

а — ПРЧ,

являющаяся

модулем

ПРЧ ось

и ПНЧ

pi

является

регулятором

фундаменталь­

ности

ось

Тогда

есть регулятор

фундаментальности

а.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Фиксируем

произвольное

я.

Пусть

I

, / ^

р\ (я). Тогда

I а 0") ~

« (О I =

II «i (/) I -

I «1 (О II <

I «1 (/) -

а, (О I <

2" п ,

что и

требуется.

М

что для всех х,

п

Построим

алгорифм

такой,

\х\р,

если

х

является рациональ­

mod (х)

~

ным

числом,

х

з>

£ ^ x 3 0 E * 3 .

если

не

является рацио­

Ввиду

леммы 3, алгорифм

mod

является алгорифмом

типа

з>

(2)^2)).

Непосредственно

из

определений алгорифмов + , —

з> з>

и mod

устанавливается

следующая

3>

Л е м м а

4. Для

любых

КДЧ

х, у и любого я

1)

+(х,

У) (п) ~х(п)-\-у

(я);

2)

~ (х,

у) (п) =

х (я) — г/ (я);

i

I

3)

mod (х) (я) == | х(я)

L ;

з>

~

часто

использовать

записи

x-j-y,

х — у и | х L ,

причем

3 )

3

)

в тех

случаях,

когда это

не

ведет

к

недоразумениям,

индекс «£Z>» будет опускаться.

3.

Операции

умножения,

деления, max,

min.

О п р е-

3> 3>

д е л е н и е

3.

Будем

говорить, что ПРЧ

а является про­

изведением

ПРЧ

ai, ос2> если

при всех

п

a (п) =

а,

(п)

• а2

(п).

Л е м м а

5. Пусть

ПРЧ

а

является

произведением

ПРЧ

щ, а2 ,

ПНЧ

р ь

р2

являются

регуляторами

фунда­

ментальности

ai

и

а2 .

Пусть

далее

k —

натуральное

число

и р — ПН Ч такие, что при

любом

п

I «1 (п) I <

2\

и

| а2

(я) | <

2*

р ( я ) - т а х

(р, (п + k+

1), р2 (я + k+

1)).

да

7огс?а

р есть

регулятор

фундаментальности

ПРЧ

ц,