Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 177

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

140

КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

 

 

[ГЛ. 2

1 / < г ,

то х <с z

(соответственно,

если

х >

у,

у>

 

г, то

х>г).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пользуясь

теоремой

10,

най­

дем п, m такие, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(50)

 

Vkl{k,

 

 

 

 

 

 

l^m^{g(l)-x(k)>2-n)),

 

 

 

(51)

 

Vij(i,

 

j^mzD

(z(i)

-

у (/) >

2"")).

 

 

 

Но

тогда при

любом

l~^m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z(l)-

 

 

 

x(l)>2'n+l.

 

 

 

 

 

 

Отсюда

no

теореме

10 следует, что z >

x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

Т е о р е м а

15.

Для

любых

КДЧ

х,

у,

z

1) если

 

x*£Zy,

у < z,

то х <

г;

 

2)

если

х <

у,

у ^

 

г,

то х <

z

(соот­

ветственно, Г)

если

л:> у и

у >

z,

то x>z,

и

2')

если

х > у и у

Z, ТО X > z).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Докажем,

например,

утвер­

ждение 1). По теореме 10 найдем m, п такие, что

 

 

(52)

 

 

 

 

 

 

 

Vkl(k,l^m=>{z(k)-i(l)>2-n)).

 

 

 

Пусть

теперь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем

 

/ ^ m a x ( m , х(п +

3), у(п

+ 3)).

 

 

 

 

 

 

 

 

I x(i)

-

хп+31

<

г - "" 3 ,

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(53)

 

 

 

 

х ( 0 < * „ + з

+

2 - л - 3 .

 

 

 

 

 

 

Далее,

ввиду

 

того,

что

 

х^у,

 

 

 

 

 

 

 

(54)

 

 

 

 

х п + 3

-

уп+3

<

2~п~\

 

 

 

 

 

 

Из (53) и (54) получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(55)

 

 

x(i)<yn+3

 

+

2-n-3

+

 

2-n-\

 

 

 

 

Далее,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I У (0

-

Уп+31

<

2"""3 .

 

 

 

 

 

Отсюда и

из

(55)

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х (i) < У (/) +

2~п~3

 

+

2~п~3

+

2~п-2

 

=

у (/) +

2 - " - ' .

 

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ КДЧ

 

 

141

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(56)

z(i)-x(i)

> z(i)-i(i)-2~n-[

 

>

2~n

-

2~п-1

= 2 " я - 1 .

 

Ввиду теоремы

 

10 из

(56)

следует,

что х <

г.

 

 

 

Докажем теперь

транзитивность

отношений

^

и

 

 

Т е о р е м а

16.

Если

х =£Г у

и

y ^ z ,

го x^.z

 

(соот­

ветственно, если

х

 

у,

у ^ z,

то х ^

 

z).

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим,

что х >

г.

То­

гда

по теореме

15

х~>у,

что

противоречит

условию.

Следовательно, х

^

z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

17.

Для

любых

КДЧ

х

и

у, если

х ^

у и

х ^

у, то х =

у.

 

 

 

 

Из х^у

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

следует, что

 

 

(57)

 

 

 

 

 

 

Vn(xn-ynK2-n+l).

 

 

 

 

 

 

Из условия х ^

 

у вытекает,

что

 

 

 

 

 

 

(58)

 

 

 

 

 

 

\/п(уп-хп^2-п+[).

 

 

 

 

 

 

Из (57) и (58)

следует,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V n ( | ^ - x „ | < 2 - n + 1 ) ,

 

 

 

 

 

что и дает х =

у.

 

Для

любых

КДЧ

х,

у

выполняется

 

Т е о р е м а

18.

 

 

ll((x

 

=

 

y)V{x>y)V(x<y)).

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Утверждение

теоремы

озна­

чает, что ни при каких х, у не могут одновременно вы­ полняться условия

(59)

1(х = у),

(60)

1(х<у),

(61)

1(х>у).

Это очевидно, поскольку из (60) и (61) согласно тео­ реме 17 следует х = у.

Как будет показано в § 1 гл. 4, двойное отрицание в формулировке теоремы 18 не может быть устранено (при конструктивном понимании дизъюнкции).

8. Для доказательства некоторых дальнейших свойств отношений порядка и равенства нам потребуются сле­ дующие четыре леммы.

142

КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ

ЧИСЛА

[ГЛ. 2

 

Л е м м а

4. Можно

построить

алгорифм Nr

типа

(2)2

-г* Ж)

так, что для

любых

х,

у

 

 

 

 

1) х < у

^ !Nr (х, у) & (yN[

u > у)

-

xNT u > у))

> 2 " N r <*•

 

2)x > у a

3)* =

4)!Nr

!Nr (x, i/) & ( x N

( x >

-

*/

( x

) > 2" -Nr(x,

v Nr (*,</)

 

*Nr<*.

y))<r*с/

l ! N r ( ; t , г/);

 

 

 

 

 

у) => J ^ N r (JC. y) -

xNr

te>

y )

I >

2 " N r ( x >*>+ I .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пользуясь

теоремой

об

уни­

версальном алгорифме и теоремами п. 7 §

1 гл. 1, мож­

но построить

алгорифм

Nr так,

чтобы

для

любых

КДЧ

х и у

 

 

Nr(*f

 

y)~lxi(\xi-yi\>2-i+l).

 

 

 

 

 

 

 

 

Нетрудно

убедиться,

что алгорифм

Nr

действитель­

но обладает свойствами

1)—4).

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е м м а

5.

Можно

построить

 

алгорифм

sgn(2> типа

(3)2-г>Ц)

 

такой, что для любых

КДЧ

х

и у

выполняется

1) если

 

 

! sgn<2>(.*, у),

то

 

sgn<2>(х, у) =

1

или

sgn<2>(x, у)

= = — 1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

* < i / =

sgn<2>(*,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

* > / / =

sgn<2>(*, у) =

-1;

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

л; =

 

г/ =

"1 !sgn<2> (*>

у).

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Используя

разрешимость

от­

ношения

> ,

построим

алгорифм

sgn^

такой,

что

если

\sgr\W(x,у),

 

 

то \Nv(x,y)

и

 

 

 

 

 

 

 

 

sgn(2> (х, у)

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

1,

если

INr(x.»)

и

 

 

 

 

W ,

^

- "

^ 1 ,

" 1

- 1 ,

если

! № ( * , * )

и

^ N r ( ,

, }

-

^

 

 

 

2 " N r ^

Покажем, что алгорифм sgn<2) обладает

требуемыми

свойствами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

! sgn<2>(jc, у), то l N r ( x , у).

Следовательно,

 

(62)

 

 

 

I yNr ( х > v )

x N r

(д. ^ | >

2- N r

(*,

(/) + !

 

 

 

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ КДЧ

143

 

Ввиду разрешимости

отношения

>

можно

указать

верное из утверждении

 

- N r

(*,(/)+1

 

 

 

 

(63)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

#Nr (х. у)

XNt

(х, у ) ' >

^

 

 

»

 

 

 

 

(64)

v Nr (х,

у) — уNr (х, у) ^

2 - N

r

<*- *)+'

 

 

 

 

 

Если

выполняется

(63), то, очевидно, sgn^(x,

у)

== 1,

если же

верно

(64),

то

sgnW(x,y)

==—1. Свойство

1)

доказано.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

х<у,

то по лемме 6 \Nv(x,y)

и

выполняется

(63). Следовательно,

sgn<2>(x, у)

~

1. Если

sgn(2)(x, у)

=

=

1, то

! Nr(x, у)

и,

следовательно,

выполняется

(62)«

Из

построения

sgn<2>

очевидно,

что

 

(64)

в данном

слу­

чае не выполняется. Следовательно, имеет место (63),

откуда и следует,

что х <

у. Свойство

3)

доказывается

совершенно

аналогично.

 

 

 

 

 

 

Докажем

свойство 4). Если х — у,

то

~| !Nr (х, у)

и,

следовательно, ~\\sgn(2^(x, у). Пусть теперь

~] !sgn( 2 ) (х,

у).

Тогда, ввиду уже установленных

свойств

2) и 3)

алго­

рифма sgn< 2 ) , выполняется

~\(х<у)

 

и ~](х>у),

т . е .

выполняется

х^.у

и х^у.

Отсюда

согласно теореме

17

следует, что х =

у. Этим

и заканчивается

доказатель­

ство леммы.

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

Рис. 7.

 

 

Алгорифм

sgno

мы в

дальнейшем

будем

обо­

значать

через

sgn. Свойства

этого алгорифма

напо­

минают

свойства

классической сигнум-функции

(ср.

рис. 7),

причем

в отличие

от

последней

алгорифм

sgn

Смотрите также файлы